[1] Uma esfera condutora de raio
contendo uma carga elétrica
está imersa em uma casca esférica dielétrica de raio interno
e raio externo
. Calcule a polarização, as densidades de cargas de polarização, o campo e o deslocamento elétrico. Calcule também a carga de polarização e a carga elétrica total.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma esfera condutora de raio $ a $ que possui uma carga elétrica $ q $. Essa esfera está dentro de uma casca esférica dielétrica que tem raio interno $ a $ e raio externo $ b $. Precisamos calcular:
- Polarização ($ \mathbf{P} $): Como as moléculas do dielétrico se alinham na presença de um campo elétrico.
- Densidades de cargas de polarização: Cargas superficiais e volumétricas que surgem devido à polarização.
- Campo elétrico ($ \mathbf{E} $): A força que atua sobre cargas elétricas no espaço.
- Deslocamento elétrico ($ \mathbf{D} $): Uma grandeza relacionada ao campo elétrico e à polarização.
- Carga de polarização: Total das cargas associadas à polarização.
- Carga elétrica total: Soma das cargas livres e de polarização no sistema.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de eletrostática em materiais dielétricos, como a relação entre $ \mathbf{E} $, $ \mathbf{D} $ e $ \mathbf{P} $, além de utilizar a Lei de Gauss adaptada para dielétricos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as regiões do nosso sistema:
- Região 1: Dentro da esfera condutora de raio $ a $.
- Região 2: Dentro da casca dielétrica, entre $ a $ e $ b $.
- Região 3: Fora da casca dielétrica, para $ r > b $.
Sabemos que em um condutor em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico é zero no interior. Portanto, na Região 1, $ \mathbf{E} = 0 $.
Passo 3
Agora, vamos analisar a Região 2, que é a casca dielétrica entre $ a $ e $ b $.
A casca dielétrica está polarizada devido à presença da carga $ q $ na esfera condutora. A polarização $ \mathbf{P} $ está relacionada ao campo elétrico $ \mathbf{E} $ pelo material dielétrico. A relação é dada por:
Onde $ \varepsilon_0 $ é a permissividade do vácuo.
Para materiais lineares e isotrópicos, podemos também escrever:
E:
Onde $ \varepsilon = \varepsilon_0 (1 + \chi_e) $ é a permissividade do material dielétrico.
Passo 4
Vamos aplicar a Lei de Gauss para a Região 2. A Lei de Gauss para o deslocamento elétrico $ \mathbf{D} $ é:
Onde $ Q_{livre, interno} $ é a carga livre encerrada pela superfície gaussiana.
Considerando uma superfície esférica de raio $ r $ com $ a < r < b $, a única carga livre dentro dela é $ q $. Portanto:
Assim, o deslocamento elétrico na Região 2 é:
Passo 5
Sabemos que $ \mathbf{D} = \varepsilon \mathbf{E} $, então podemos encontrar o campo elétrico $ \mathbf{E} $:
Aqui, $ \varepsilon $ é a permissividade do dielétrico, que depende da suscetibilidade elétrica $ \chi_e $.
Passo 6
Agora, vamos encontrar a polarização $ \mathbf{P} $:
Simplificando a expressão:
Passo 7
Vamos determinar agora as densidades de cargas de polarização. Existem duas tipos:
-
Carga de orientação superficial ($ \sigma_p $): É a carga de polarização na interface entre o condutor e o dielétrico, e também na interface do dielétrico com o ambiente externo.
-
Carga de polarização volumétrica ($ \rho_p $): É a carga distribuída no volume do dielétrico.
Como a polarização só depende da posição, e considerando simetria esférica, temos:
-
Na superfície interna ($ r = a $):
-
Na superfície externa ($ r = b $):
Para a carga volumétrica:
Em coordenadas esféricas, e considerando que $ \mathbf{P} $ só depende de $ r $:
Substituindo $ P® $ da Passo 6:
Portanto, não há carga volumétrica de polarização.
Passo 8
Vamos calcular agora o campo elétrico e o deslocamento elétrico nas diferentes regiões:
-
Região 1 ($ r < a $):Como é um condutor em equilíbrio, $ \mathbf{E} = 0 $ e $ \mathbf{D} = 0 $.
-
Região 2 ($ a < r < b $):Já calculamos:
-
Região 3 ($ r > b $):Fora da casca dielétrica, a única carga livre é $ q $, então:
Passo 9
Agora, vamos calcular a carga de polarização. A carga de polarização total $ Q_p $ é a soma das cargas de polarização superficial interna e externa:
Substituindo $ \sigma_{p, interno} = P(a) $ e $ \sigma_{p, externo} = -P(b) $:
Mas, da Passo 6, sabemos que $ P® = \frac{q}{4\pi r^2} \cdot \frac{\chi_e}{1 + \chi_e} $, então:
Portanto, a carga de polarização total é zero.
Passo 10
Por último, vamos determinar a carga elétrica total no sistema. A carga elétrica total $ Q_{total} $ é a soma das cargas livres e das cargas de polarização:
Sabemos que $ Q_{livre} = q $ e $ Q_p = 0 $ (do Passo 9), então:
Resposta
A polarização no dielétrico é $ \mathbf{P}® = \frac{q}{4\pi r^2} \cdot \frac{\chi_e}{1 + \chi_e} $. As densidades de cargas de polarização são $ \sigma_{p, interno} = \frac{q \chi_e}{4\pi a^2 (1 + \chi_e)} $ e $ \sigma_{p, externo} = -\frac{q \chi_e}{4\pi b^2 (1 + \chi_e)} $, com carga volumétrica nula. O campo elétrico é $ \mathbf{E}® = \frac{q}{4\pi \varepsilon r^2} $ na casca dielétrica e $ \mathbf{E} = 0 $ dentro do condutor. O deslocamento elétrico é $ \mathbf{D}® = \frac{q}{4\pi r^2} $. A carga de polarização total é zero e a carga elétrica total do sistema é $ q $.