[1] Uma esfera condutora de raio a contendo uma carga elétrica q está imersa em uma casca esférica dielétrica de raio interno a e raio externo b . Calcule a polarização, as densidades de cargas de polarização, o campo e o deslocamento elétrico. Calcule também a carga de polarização e a carga elétrica total.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma esfera condutora de raio $ a $ que possui uma carga elétrica $ q $. Essa esfera está dentro de uma casca esférica dielétrica que tem raio interno $ a $ e raio externo $ b $. Precisamos calcular:
  1. Polarização ($ \mathbf{P} $): Como as moléculas do dielétrico se alinham na presença de um campo elétrico.
  2. Densidades de cargas de polarização: Cargas superficiais e volumétricas que surgem devido à polarização.
  3. Campo elétrico ($ \mathbf{E} $): A força que atua sobre cargas elétricas no espaço.
  4. Deslocamento elétrico ($ \mathbf{D} $): Uma grandeza relacionada ao campo elétrico e à polarização.
  5. Carga de polarização: Total das cargas associadas à polarização.
  6. Carga elétrica total: Soma das cargas livres e de polarização no sistema.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de eletrostática em materiais dielétricos, como a relação entre $ \mathbf{E} $, $ \mathbf{D} $ e $ \mathbf{P} $, além de utilizar a Lei de Gauss adaptada para dielétricos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as regiões do nosso sistema:
  • Região 1: Dentro da esfera condutora de raio $ a $.
  • Região 2: Dentro da casca dielétrica, entre $ a $ e $ b $.
  • Região 3: Fora da casca dielétrica, para $ r > b $.
Sabemos que em um condutor em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico é zero no interior. Portanto, na Região 1, $ \mathbf{E} = 0 $.

Passo 3

Agora, vamos analisar a Região 2, que é a casca dielétrica entre $ a $ e $ b $.
A casca dielétrica está polarizada devido à presença da carga $ q $ na esfera condutora. A polarização $ \mathbf{P} $ está relacionada ao campo elétrico $ \mathbf{E} $ pelo material dielétrico. A relação é dada por:
a
Onde $ \varepsilon_0 $ é a permissividade do vácuo.
Para materiais lineares e isotrópicos, podemos também escrever:
b
E:
q
Onde $ \varepsilon = \varepsilon_0 (1 + \chi_e) $ é a permissividade do material dielétrico.

Passo 4

Vamos aplicar a Lei de Gauss para a Região 2. A Lei de Gauss para o deslocamento elétrico $ \mathbf{D} $ é:
D
Onde $ Q_{livre, interno} $ é a carga livre encerrada pela superfície gaussiana.
Considerando uma superfície esférica de raio $ r $ com $ a < r < b $, a única carga livre dentro dela é $ q $. Portanto:
oint D cdot dA = Qlivre, interno
Assim, o deslocamento elétrico na Região 2 é:
Qlivre, interno

Passo 5

Sabemos que $ \mathbf{D} = \varepsilon \mathbf{E} $, então podemos encontrar o campo elétrico $ \mathbf{E} $:
D = varepsilon E
Aqui, $ \varepsilon $ é a permissividade do dielétrico, que depende da suscetibilidade elétrica $ \chi_e $.

Passo 6

Agora, vamos encontrar a polarização $ \mathbf{P} $:
P
Simplificando a expressão:
P = chie varepsilon0 E = chie varepsilon0 q4pi varepsilon r^2 = chie q4pi r^2 (1 + chie)

Passo 7

Vamos determinar agora as densidades de cargas de polarização. Existem duas tipos:
  1. Carga de orientação superficial ($ \sigma_p $): É a carga de polarização na interface entre o condutor e o dielétrico, e também na interface do dielétrico com o ambiente externo.
  2. Carga de polarização volumétrica ($ \rho_p $): É a carga distribuída no volume do dielétrico.
Como a polarização só depende da posição, e considerando simetria esférica, temos:
  • Na superfície interna ($ r = a $):
    sigmap
  • Na superfície externa ($ r = b $):
    rhop
Para a carga volumétrica:
r = a
Em coordenadas esféricas, e considerando que $ \mathbf{P} $ só depende de $ r $:
sigmap, interno = P(a) cdot n = P(a)
Substituindo $ P® $ da Passo 6:
r = b
Portanto, não há carga volumétrica de polarização.

Passo 8

Vamos calcular agora o campo elétrico e o deslocamento elétrico nas diferentes regiões:
  • Região 1 ($ r < a $):
    Como é um condutor em equilíbrio, $ \mathbf{E} = 0 $ e $ \mathbf{D} = 0 $.
  • Região 2 ($ a < r < b $):
    Já calculamos:
    r < a
  • Região 3 ($ r > b $):
    Fora da casca dielétrica, a única carga livre é $ q $, então:
    E = 0

Passo 9

Agora, vamos calcular a carga de polarização. A carga de polarização total $ Q_p $ é a soma das cargas de polarização superficial interna e externa:
Qp
Substituindo $ \sigma_{p, interno} = P(a) $ e $ \sigma_{p, externo} = -P(b) $:
Qp = sigmap, interno cdot 4pi a^2 + sigmap, externo cdot 4pi b^2
Mas, da Passo 6, sabemos que $ P® = \frac{q}{4\pi r^2} \cdot \frac{\chi_e}{1 + \chi_e} $, então:
sigmap, interno = P(a)
Portanto, a carga de polarização total é zero.

Passo 10

Por último, vamos determinar a carga elétrica total no sistema. A carga elétrica total $ Q_{total} $ é a soma das cargas livres e das cargas de polarização:
Qtotal
Sabemos que $ Q_{livre} = q $ e $ Q_p = 0 $ (do Passo 9), então:
Qtotal = Qlivre + Qp

Resposta

A polarização no dielétrico é $ \mathbf{P}® = \frac{q}{4\pi r^2} \cdot \frac{\chi_e}{1 + \chi_e} $. As densidades de cargas de polarização são $ \sigma_{p, interno} = \frac{q \chi_e}{4\pi a^2 (1 + \chi_e)} $ e $ \sigma_{p, externo} = -\frac{q \chi_e}{4\pi b^2 (1 + \chi_e)} $, com carga volumétrica nula. O campo elétrico é $ \mathbf{E}® = \frac{q}{4\pi \varepsilon r^2} $ na casca dielétrica e $ \mathbf{E} = 0 $ dentro do condutor. O deslocamento elétrico é $ \mathbf{D}® = \frac{q}{4\pi r^2} $. A carga de polarização total é zero e a carga elétrica total do sistema é $ q $.

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