[4] Em um meio dielétrico onde existe um campo elétrico uniforme é feita uma longa cavidade cilíndrica de raio a . Calcule o potencial e o campo elétrico em pontos internos e externos

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um meio dielétrico com um campo elétrico uniforme, no qual criamos uma cavidade cilíndrica longa de raio $ a $. Nosso objetivo é calcular o potencial elétrico e o campo elétrico tanto dentro quanto fora dessa cavidade. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de eletrostática, como o campo elétrico em dielétricos e o potencial elétrico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que acontece quando fazemos uma cavidade em um dielétrico submetido a um campo elétrico uniforme. O dielétrico vai se polarizar, criando dipolos alinhados com o campo externo. Porém, dentro da cavidade, não há dielétrico, então o campo elétrico pode se comportar de maneira diferente.

Passo 3

Para encontrar o campo elétrico dentro da cavidade, consideramos que, devido à ausência de material dielétrico, o campo resultante dentro da cavidade será zero. Isso ocorre porque as polarizações das moléculas do dielétrico ao redor da cavidade cancelam o campo externo dentro da cavidade.

Passo 4

Agora, vamos calcular o potencial elétrico dentro da cavidade. Sabendo que o campo elétrico $ \vec{E} $ está relacionado ao potencial $ V $ pela relação $ \vec{E} = -\nabla V $, e que dentro da cavidade $ \vec{E} = 0 $, integramos para encontrar que o potencial é constante dentro da cavidade.

Passo 5

Para o campo elétrico fora da cavidade (no dielétrico), precisamos considerar a polarização induzida pelas moléculas do dielétrico. Usamos a equação de Gauss modificada para dielétricos: $ \nabla \cdot \vec{D} = \rho_{livre} $, onde $ \vec{D} = \varepsilon \vec{E} $ e $ \varepsilon $ é a permissividade do meio.

Passo 6

A solução para o campo elétrico externo leva em conta a presença da cavidade e a polarização induzida. O campo fora da cavidade permanece uniforme e é reduzido pela constante dielétrica do meio. Portanto, o campo elétrico externo $ \vec{E}{externo} $ é dado por $ \vec{E}{externo} = \frac{\vec{E}_0}{\varepsilon} $, onde $ \vec{E}_0 $ é o campo elétrico inicial aplicado.

Passo 7

Finalmente, para o potencial fora da cavidade, integramos o campo elétrico externo. Como $ \vec{E}_{externo} $ é constante, o potencial varia linearmente com a distância na direção do campo aplicado.

Resposta

Dentro da cavidade cilíndrica de raio $ a $, o potencial elétrico é constante e o campo elétrico é nulo. Fora da cavidade, o campo elétrico é reduzido pela constante dielétrica do meio e permanece uniforme, dado por $ \vec{E}_{externo} = \frac{\vec{E}_0}{\varepsilon} $. O potencial elétrico na região externa varia linearmente conforme a direção do campo aplicado.

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