[3] Em um meio dielétrico onde existe um campo elétrico uniforme, é feita uma cavidade esférica de raio
. Calcule o potencial e o campo elétrico no interior e no exterior da cavidade.
Passo 1
Então, vamos lá! O enunciado diz que temos um meio dielétrico com um campo elétrico uniforme. Dentro desse meio, criamos uma cavidade esférica de raio $ a $. Nosso objetivo é calcular o potencial elétrico e o campo elétrico tanto dentro quanto fora dessa cavidade. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletricidade estática em meios dielétricos, como polarização e potenciais eletrostáticos.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que em um meio dielétrico submetido a um campo elétrico uniforme $ \vec{E}_0 $, as moléculas do material ficam polarizadas. Isso significa que elas se alinham de maneira que formam dipolos elétricos. Quando criamos uma cavidade nesse meio, essa polarização é interrompida na região da cavidade, o que altera o campo elétrico e o potencial nessa área.
Passo 3
Para resolver o problema, vamos considerar que o campo elétrico total é a soma do campo externo $ \vec{E}_0 $ e do campo induzido pelas cargas na superfície da cavidade. Vamos calcular o potencial elétrico e o campo elétrico tanto dentro quanto fora da cavidade usando a superposição desses campos.
Passo 4
Vamos começar calculando o potencial elétrico no interior da cavidade. Como a cavidade está em um meio polarizado, o potencial dentro dela será afetado pela polarização do dielétrico ao redor. O potencial dentro da cavidade pode ser expresso como:
Aqui, $ \vec{p} $ representa o momento de dipolo induzido pela cavidade.
Passo 5
Agora, vamos calcular o potencial elétrico no exterior da cavidade. Fora da cavidade, o meio dielétrico continua polarizado pelo campo $ \vec{E}_0 $. O potencial aqui é a soma do potencial externo e do potencial devido ao dipolo induzido:
Passo 6
Para encontrar o campo elétrico, lembramos que ele é o negativo do gradiente do potencial. Então, derivando os potenciais que calculamos, obtemos os campos elétricos dentro e fora da cavidade:
Dentro da cavidade:
Fora da cavidade:
Resposta
O potencial elétrico na cavidade é dado por
e o campo elétrico interno é
No exterior da cavidade, o potencial é
e o campo elétrico externo é