[1, Ex 3-6, p. 784] Calcule os limites
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite vetorial juntos! O exercício pede para calcular o limite de
quando
se aproxima de 0 pela direita. Aqui, estamos lidando com limites de funções vetoriais, então vamos precisar calcular o limite de cada componente separadamente usando conceitos básicos de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a primeira componente da função vetorial:
. Sabemos que
é uma função contínua em todos os pontos, inclusive em
. Então, o limite de
quando
se aproxima de 0 é simplesmente
.
Passo 3
Calculando
, lembramos que o cosseno de 0 é 1. Portanto:
Passo 4
Agora, vamos para a segunda componente:
. Assim como o cosseno, o seno também é uma função contínua em todos os pontos. Então, o limite de
quando
se aproxima de 0 é
.
Passo 5
Calculando
, sabemos que o seno de 0 é 0. Portanto:
Passo 6
Por último, temos a terceira componente:
. Aqui, precisamos lembrar que
tende a
quando
se aproxima de 0 pela direita, mas como estamos multiplicando por
, que tende a 0, temos uma forma indeterminada do tipo
. Para resolver isso, podemos reescrever a expressão como
e aplicar a regra de L’Hôpital.
Passo 7
Aplicando a regra de L’Hôpital, derivamos o numerador e o denominador:
Então, o limite de
quando
se aproxima de 0 pela direita é 0.
Resposta
Portanto, o limite da função vetorial quando
se aproxima de 0 pela direita é: