[1, Ex 3-6, p. 784] Calcule os limites
lim t 0^+lang<=cos t, sin t, t ln trang<=

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite vetorial juntos! O exercício pede para calcular o limite de quando se aproxima de 0 pela direita. Aqui, estamos lidando com limites de funções vetoriais, então vamos precisar calcular o limite de cada componente separadamente usando conceitos básicos de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a primeira componente da função vetorial: . Sabemos que é uma função contínua em todos os pontos, inclusive em . Então, o limite de quando se aproxima de 0 é simplesmente .

Passo 3

Calculando limt to 0^+ cos t = 1 , lembramos que o cosseno de 0 é 1. Portanto:

Passo 4

Agora, vamos para a segunda componente: . Assim como o cosseno, o seno também é uma função contínua em todos os pontos. Então, o limite de quando se aproxima de 0 é .

Passo 5

Calculando limt to 0^+ sin t = 0 , sabemos que o seno de 0 é 0. Portanto:

Passo 6

Por último, temos a terceira componente: . Aqui, precisamos lembrar que tende a quando se aproxima de 0 pela direita, mas como estamos multiplicando por , que tende a 0, temos uma forma indeterminada do tipo . Para resolver isso, podemos reescrever a expressão como e aplicar a regra de L’Hôpital.

Passo 7

Aplicando a regra de L’Hôpital, derivamos o numerador e o denominador:
limt to 0^+ ln t1/t = limt to 0^+ 1t-1t^2 = limt to 0^+ -t = 0
Então, o limite de quando se aproxima de 0 pela direita é 0.

Resposta

Portanto, o limite da função vetorial quando limt to 0^+ lang<=cos t, sin t, t ln trang<= = lang<= 1, 0, 0 rang<= se aproxima de 0 pela direita é:

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