(2,5 pontos) Calcule a integral,
integral triplaB e^(x^2+y^2+z^2)^12 d V
onde B é a bola unitária B=(x, y, z): x^2+y^2+z^2 <= 1 transformando para coordenadas esféricas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla sobre a bola unitária , que é definida por . O conteúdo que estamos usando aqui é Cálculo Integral Multivariado, especificamente a mudança para coordenadas esféricas. Para resolver essa integral, vamos converter as coordenadas cartesianas para esféricas e ajustar os limites de integração e o elemento de volume de acordo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a transformação para coordenadas esféricas. Nas coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é representado por x = r sin phi cos theta y = r sin phi sin theta z = r cos phi , onde:
  • é a distância do ponto à origem,
  • é o ângulo no plano (ângulo azimutal),
  • é o ângulo entre o vetor posição e o eixo (ângulo polar).
As relações entre coordenadas cartesianas e esféricas são:

Passo 3

O próximo passo é expressar o elemento de volume dV = r^2 sin phi , dr , dphi , dtheta em coordenadas esféricas. Nas coordenadas esféricas, o elemento de volume é dado por:
Isso leva em conta a “espalhada” do volume nas diferentes direções.

Passo 4

Agora, vamos reescrever a integral tripla dada usando coordenadas esféricas. A integral original é:
integral triplaB e^(x^2+y^2+z^2)^12 , dV
Notamos que e^(r^2)^12 = e^r^24 em coordenadas esféricas. Então, a função dentro da integral fica:
integral triplaB e^r^24 , r^2 sin phi , dr , dphi , dtheta
Portanto, a integral se torna:

Passo 5

Agora, precisamos definir os limites de integração para integral0^2pi integral0^pi integral0^1 e^r^24 , r^2 sin phi , dr , dphi , dtheta , e na esfera unitária:
  • varia de 0 a 1 (raio da bola unitária),
  • varia de 0 a (ângulo polar completo),
  • varia de 0 a (ângulo azimutal completo).
Portanto, a integral fica:

Passo 6

Vamos integrar passo a passo. Primeiro, integramos em relação a integral0^2pi dtheta = 2pi :
2pi integral0^pi integral0^1 e^r^24 , r^2 sin phi , dr , dphi
Então, a integral fica:

Passo 7

Em seguida, integramos em relação a integral0^pi sin phi , dphi = 2 :
2pi times 2 times integral0^1 e^r^24 , r^2 , dr = 4pi integral0^1 e^r^24 , r^2 , dr
Agora, a integral reduz para:

Passo 8

Por último, temos a integral em integral0^1 e^r^24 , r^2 , dr :
Essa integral não possui uma solução em termos de funções elementares, mas pode ser expressa como uma série ou calculada numericamente se necessário.

Resposta

A integral avaliada é igual a integral triplaB e^(x^2+y^2+z^2)^12 , dV = 4pi integral0^1 e^r^24 , r^2 , dr vezes a integral de de 0 a 1. Portanto,

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