integral0^3 integral0^4 raiz25-x^2-y^2 d y d x

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada na questão! Temos que calcular a integral dupla:
integral0^3 integral0^4 raiz25 - x^2 - y^2 , dy , dx
Esse exercício envolve conceitos de Cálculo Integral, especificamente integrais duplas e mudança de ordem de integração ou coordenadas polares para facilitar a resolução. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar funções com radicais e aplicar técnicas de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a integral interna, que é em relação a integral0^4 raiz25 - x^2 - y^2 , dy . Temos:
y = raiz25 - x^2 cdot sin theta
Para simplificar essa integral, vamos fazer uma substituição trigonométrica. Vamos definir:
dy = raiz25 - x^2 cdot cos theta , dtheta
Diferenciando ambos os lados em relação a integral raiz25 - x^2 - (raiz25 - x^2 cdot sin theta)^2 cdot raiz25 - x^2 cdot cos theta , dtheta , temos:
raiz25 - x^2 - (25 - x^2) sin^2 theta = raiz(25 - x^2)(1 - sin^2 theta) = raiz25 - x^2 cdot cos theta
Substituindo na integral, ficamos com:
integral raiz25 - x^2 cdot cos theta cdot raiz25 - x^2 cdot cos theta , dtheta = (25 - x^2) integral cos^2 theta , dtheta
Simplificando o radical:
(25 - x^2) integral 1 + cos(2theta)2 , dtheta = 25 - x^22 ( theta + sin(2theta)2 ) + C
Então, a integral fica:
0 = raiz25 - x^2 cdot sin theta Rightarrow theta = 0
Usando a identidade trigonométrica 4 = raiz25 - x^2 cdot sin theta Rightarrow sin theta = 4raiz25 - x^2 Rightarrow theta = arcsin(4raiz25 - x^2) , a integral se torna:
25 - x^22 [ arcsin(4raiz25 - x^2) + sin(2 arcsin(4raiz25 - x^2))2 ]
Agora, precisamos determinar os limites de integração para 4 raiz25 - x^2 . Quando 4 integral0^3 raiz25 - x^2 , dx :
Quando :
Substituindo os limites:
Porém, para simplificar, observamos que a integral interna resulta em:
Portanto, a integral dupla original se reduz a:

Passo 3

Agora, vamos resolver a integral resultante:
4 integral0^3 raiz25 - x^2 , dx
Essa é uma integral padrão que pode ser resolvida usando uma substituição trigonométrica ou reconhecendo a forma da integral de integral raiza^2 - x^2 , dx = x2 raiza^2 - x^2 + a^22 arcsin(xa) + C . A solução dessa integral é dada por:
4 [ x2 raiz25 - x^2 + 252 arcsin(x5) ]0^3
No nosso caso, 32 raiz25 - 9 + 252 arcsin(35) = 32 cdot 4 + 252 cdot 0,6435 approx 6 + 8,04375 = 14,04375 . Aplicando essa fórmula:
02 raiz25 - 0 + 252 arcsin(0) = 0 + 0 = 0
Calculando nos limites:
Para 4 cdot (14,04375 - 0) = 56,175 :
Para :
Subtraindo os valores:

Resposta

O valor da integral dupla é aproximadamente 56,175.

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