Beleza, vamos dar uma olhada na questão! Temos que calcular a integral dupla:
Esse exercício envolve conceitos de Cálculo Integral, especificamente integrais duplas e mudança de ordem de integração ou coordenadas polares para facilitar a resolução. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar funções com radicais e aplicar técnicas de substituição.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a integral interna, que é em relação a . Temos:
Para simplificar essa integral, vamos fazer uma substituição trigonométrica. Vamos definir:
Diferenciando ambos os lados em relação a , temos:
Substituindo na integral, ficamos com:
Simplificando o radical:
Então, a integral fica:
Usando a identidade trigonométrica , a integral se torna:
Agora, precisamos determinar os limites de integração para . Quando :
Quando :
Substituindo os limites:
Porém, para simplificar, observamos que a integral interna resulta em:
Portanto, a integral dupla original se reduz a:
Passo 3
Agora, vamos resolver a integral resultante:
4 integral0^3 raiz25 - x^2 , dx
Essa é uma integral padrão que pode ser resolvida usando uma substituição trigonométrica ou reconhecendo a forma da integral de integral raiza^2 - x^2 , dx = x2 raiza^2 - x^2 + a^22 arcsin(xa) + C . A solução dessa integral é dada por: