[1 pt] Qual das funções abaixo é contínua em todos pontos no plano
. Justifique a resposta. (b)
Passo 1
Vamos resolver a questão que pergunta qual das funções dadas é contínua em todos os pontos do plano
. O conteúdo envolvido aqui é o estudo da continuidade de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua em todos os pontos do seu domínio e analisar a função dada passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função
é contínua em um ponto
se o limite de
quando
se aproxima de
é igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
Além disso, se isso for verdadeiro para todos os pontos
no domínio, a função é contínua em todo o plano
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função dada:
Precisamos verificar se essa função é contínua para todos os valores de
e
em
.
Passo 4
Vamos decompor a função:
-
: A função raiz quadrada é contínua para todos os . -
: A função cosseno é contínua para todo em . -
: Somar 1 a qualquer valor mantém a continuidade da função.
Passo 5
Observamos que a expressão dentro da raiz quadrada é
. Para que
seja real e definida, precisamos que
. Portanto, a função
está definida apenas quando
.
Passo 6
Como a definição da função depende de
, ela não está definida para todos os pontos no plano
. Portanto, há regiões onde a função não existe, o que implica que ela não é contínua em todos os pontos do plano.
Resposta
A função
não é contínua em todos os pontos do plano
, pois ela só está definida quando
. Assim, há pontos no plano onde a função não existe, tornando-a descontínua nessas regiões.
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.
[1 pt] Qual das funções abaixo é contínua em todos pontos no plano
. Justifique a resposta. (a)