[1 pt] Qual das funções abaixo é contínua em todos pontos no plano R^2. Justifique a resposta. (b) z = 1 + cos(raiz(x + y))

Passo 1

Vamos resolver a questão que pergunta qual das funções dadas é contínua em todos os pontos do plano R^2. O conteúdo envolvido aqui é o estudo da continuidade de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua em todos os pontos do seu domínio e analisar a função dada passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função f(x, y) é contínua em um ponto (a, b) se o limite de f(x, y) quando (x, y) se aproxima de (a, b) é igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
Além disso, se isso for verdadeiro para todos os pontos (a, b) no domínio, a função é contínua em todo o plano R^2.

Passo 3

Agora, vamos analisar a função dada:
Precisamos verificar se essa função é contínua para todos os valores de x e y em R^2.

Passo 4

Vamos decompor a função:
  1. : A função raiz quadrada é contínua para todos os .
  2. : A função cosseno é contínua para todo v em R.
  3. : Somar 1 a qualquer valor w mantém a continuidade da função.

Passo 5

Observamos que a expressão dentro da raiz quadrada é . Para que seja real e definida, precisamos que . Portanto, a função está definida apenas quando .

Passo 6

Como a definição da função depende de , ela não está definida para todos os pontos no plano R^2. Portanto, há regiões onde a função não existe, o que implica que ela não é contínua em todos os pontos do plano.

Resposta

A função não é contínua em todos os pontos do plano R^2, pois ela só está definida quando . Assim, há pontos no plano onde a função não existe, tornando-a descontínua nessas regiões.

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