[1 pt] Qual das funções abaixo é contínua em todos pontos no plano R^2. Justifique a resposta. (a) z = 1 + cos(x + raiz(y))

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício está perguntando qual das funções listadas é contínua em todos os pontos do plano R^2. Estamos analisando a função (a) . Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e verificar se a função dada satisfaz essa condição em todo o plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função contínua. Uma função é contínua em um ponto se não tem “quebras” ou “saltos” nesse ponto, ou seja, você pode desenhá-la sem levantar o lápis. Para uma função ser contínua em todo o plano R^2, ela precisa ser contínua em cada ponto desse plano.

Passo 3

Agora, vamos analisar a nossa função . Essa função é composta por várias partes: a constante 1, a função cosseno, a soma de x e , e a raiz quadrada de y.

Passo 4

Sabemos que funções básicas como constantes, funções lineares ( x, y), e funções trigonométricas como o cosseno são contínuas em todo o seu domínio. Além disso, a função raiz quadrada é contínua para todos os valores de y onde está definida, ou seja, para y ≥ 0.

Passo 5

No entanto, precisamos considerar o domínio da função completa. A expressão exige que y seja maior ou igual a zero para ser real e definida. Portanto, a função é contínua em todos os pontos do plano onde y ≥ 0.

Passo 6

Como o plano R^2 inclui todos os valores de y, positivos e negativos, há pontos onde onde a função não está definida. Nesses pontos, a função não é contínua porque não existe.

Passo 7

Portanto, a função não é contínua em todos os pontos de R^2, apenas nos pontos onde y ≥ 0.

Resposta

A função não é contínua em todos os pontos do plano R^2, pois não está definida para valores de y negativos.

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