[1 pt] calcule o limite lim (x, y) (0,0) x^2+y^4x^2-y^4 (b) ao longo da curva x=y^4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular o limite da expressão quando se aproxima de ao longo da curva . Vamos usar conceitos de limites de funções de duas variáveis e substituição de curvas para resolver.

Passo 2

Primeiro, como estamos seguindo a curva x^2+y^4x^2-y^4 com x = y^4 fica (y^4)^2 + y^4(y^4)^2 - y^4 , podemos substituir por na expressão original. Isso simplifica o problema para uma função em termos de apenas.

Passo 3

Vamos simplificar as potências:
(y^4)^2 = y^8
Então, a expressão fica:
y^8 + y^4y^8 - y^4

Passo 4

Agora, vamos fatorar y^4(y^4 + 1)y^4(y^4 - 1) no numerador e no denominador:
y^4 + 1y^4 - 1
Podemos simplificar no numerador e denominador, já que (exceto no ponto , que não afeta o limite):

Passo 5

Agora, vamos analisar o limite dessa expressão quando limy to 0 y^4 + 1y^4 - 1 se aproxima de 0:
0 + 10 - 1 = 1-1 = -1
Substituindo :

Resposta

O limite ao longo da curva é .

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