[1.5 pt] Use o critério da convergência para determinar se é convergente ou divergente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente usar o critério de convergência para descobrir se a integral é convergente ou divergente. Basicamente, vamos analisar se essa função integrada dá um resultado finito ou infinito quando somamos todos os valores de entre 0 e 1. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre integrais impróprias e como comparar funções para testar a convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na função que está dentro da integral: . Perceba que temos uma divisão por e por . Sabemos que é uma função que varia entre -1 e 1, e perto de , está próxima de 1. Então, essencialmente, a função se comporta como quando está próximo de 0.

Passo 3

Agora, vamos lembrar de uma integral bem conhecida: . Essa é a chamada integral do tipo , que sabemos que é divergente. Ou seja, ela não soma para um número finito, pois cresce sem limite quando se aproxima de 0.

Passo 4

Com base nisso, podemos usar o Teste da Comparação. Esse teste nos permite comparar a função que estamos integrando com outra função cuja integral já conhecemos. Neste caso, como se comporta como perto de 0 e não anula no intervalo [0,1], podemos afirmar que:
ó

Passo 5

Dado que também é divergente (pois é apenas a nossa integral conhecida multiplicada por uma constante), concluímos que se a função maior ( ) já diverge, então a nossa função original ( ) também não consegue somar para um valor finito.

Resposta

Portanto, a integral é divergente.

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