[1.5 pt] Use o critério da convergência para determinar se
é convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente usar o critério de convergência para descobrir se a integral
é convergente ou divergente. Basicamente, vamos analisar se essa função integrada dá um resultado finito ou infinito quando somamos todos os valores de
entre 0 e 1. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre integrais impróprias e como comparar funções para testar a convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na função que está dentro da integral:
. Perceba que temos uma divisão por
e por
. Sabemos que
é uma função que varia entre -1 e 1, e perto de
,
está próxima de 1. Então, essencialmente, a função
se comporta como
quando
está próximo de 0.
Passo 3
Agora, vamos lembrar de uma integral bem conhecida:
. Essa é a chamada integral do tipo
, que sabemos que é divergente. Ou seja, ela não soma para um número finito, pois
cresce sem limite quando
se aproxima de 0.
Passo 4
Com base nisso, podemos usar o Teste da Comparação. Esse teste nos permite comparar a função que estamos integrando com outra função cuja integral já conhecemos. Neste caso, como
se comporta como
perto de 0 e
não anula no intervalo [0,1], podemos afirmar que:
Passo 5
Dado que
também é divergente (pois é apenas a nossa integral conhecida multiplicada por uma constante), concluímos que se a função maior (
) já diverge, então a nossa função original (
) também não consegue somar para um valor finito.
Resposta
Portanto, a integral
é divergente.
Exercícios relacionados
[2 pt] Responda com V (verdadeiro) ou F (falso). Não precisa justificar a resposta. (e)
, então
.
[1 pt] calcule o limite
(b) ao longo da curva
[1 pt] Qual das funções abaixo é contínua em todos pontos no plano
. Justifique a resposta. (b)