[1 pt] Qual das funções abaixo é contínua em todos pontos no plano
. Justifique a resposta. (a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício está perguntando qual das funções listadas é contínua em todos os pontos do plano
. Estamos analisando a função (a)
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e verificar se a função dada satisfaz essa condição em todo o plano.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função contínua. Uma função é contínua em um ponto se não tem “quebras” ou “saltos” nesse ponto, ou seja, você pode desenhá-la sem levantar o lápis. Para uma função ser contínua em todo o plano
, ela precisa ser contínua em cada ponto desse plano.
Passo 3
Agora, vamos analisar a nossa função
. Essa função é composta por várias partes: a constante 1, a função cosseno, a soma de
e
, e a raiz quadrada de
.
Passo 4
Sabemos que funções básicas como constantes, funções lineares (
,
), e funções trigonométricas como o cosseno são contínuas em todo o seu domínio. Além disso, a função raiz quadrada
é contínua para todos os valores de
onde está definida, ou seja, para
.
Passo 5
No entanto, precisamos considerar o domínio da função completa. A expressão
exige que
seja maior ou igual a zero para ser real e definida. Portanto, a função
é contínua em todos os pontos do plano onde
.
Passo 6
Como o plano
inclui todos os valores de
, positivos e negativos, há pontos onde
onde a função não está definida. Nesses pontos, a função não é contínua porque não existe.
Passo 7
Portanto, a função
não é contínua em todos os pontos de
, apenas nos pontos onde
.
Resposta
A função
não é contínua em todos os pontos do plano
, pois não está definida para valores de
negativos.
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[1 pt] Descreva e esboce o domínio da função
.
[1 pt] Qual das funções abaixo é contínua em todos pontos no plano
. Justifique a resposta. (b)
[2 pt] Responda com V (verdadeiro) ou F (falso). Não precisa justificar a resposta. (a) A integral
é negativa.
[1 pt] Qual das funções abaixo é contínua em todos pontos no plano
. Justifique a resposta. ©