[1 pt] Qual das funções abaixo é contínua em todos pontos no plano . Justifique a resposta. ©

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está perguntando se a função é contínua em todos os pontos do plano . Para resolver isso, precisamos entender o que significa uma função ser contínua e analisar a expressão dada para ver se ela atende a essa condição em todos os lugares do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se não há “saltos” ou “interrupções” em seu gráfico naquele ponto. Mais tecnicamente, para todo ponto , o limite da função quando se aproxima de deve ser igual ao valor da função nesse ponto.

Passo 3

Agora, vamos analisar a função . Essa função é composta por duas partes principais: a função cosseno, , e a função raiz quadrada, .

Passo 4

Sabemos que a função cosseno, , é contínua para todo real. Então, é contínua em todo , porque a soma é uma operação contínua e a composição de funções contínuas continua sendo contínua.

Passo 5

Agora, consideramos a função . A raiz quadrada é contínua onde está definida, ou seja, para . Então, precisamos garantir que o que está dentro da raiz quadrada, , seja sempre maior ou igual a zero para que a função seja contínua.

Passo 6

Observando , sabemos que o valor de varia entre -1 e 1. Assim, varia entre 0 e 2. Isso significa que o argumento da raiz quadrada nunca será negativo, garantindo que esteja sempre definida e sem interrupções.

Passo 7

Como ambas as funções componentes, e , são contínuas em todo , a função composta também é contínua em todos os pontos do plano.

Resposta

A função é contínua em todos os pontos no plano .

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