[1 pt] Qual das funções abaixo é contínua em todos pontos no plano
. Justifique a resposta. ©
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está perguntando se a função
é contínua em todos os pontos do plano
. Para resolver isso, precisamos entender o que significa uma função ser contínua e analisar a expressão dada para ver se ela atende a essa condição em todos os lugares do plano.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se não há “saltos” ou “interrupções” em seu gráfico naquele ponto. Mais tecnicamente, para todo ponto
, o limite da função quando
se aproxima de
deve ser igual ao valor da função nesse ponto.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função
. Essa função é composta por duas partes principais: a função cosseno,
, e a função raiz quadrada,
.
Passo 4
Sabemos que a função cosseno,
, é contínua para todo
real. Então,
é contínua em todo
, porque a soma
é uma operação contínua e a composição de funções contínuas continua sendo contínua.
Passo 5
Agora, consideramos a função
. A raiz quadrada é contínua onde está definida, ou seja, para
. Então, precisamos garantir que o que está dentro da raiz quadrada,
, seja sempre maior ou igual a zero para que a função
seja contínua.
Passo 6
Observando
, sabemos que o valor de
varia entre -1 e 1. Assim,
varia entre 0 e 2. Isso significa que o argumento da raiz quadrada nunca será negativo, garantindo que
esteja sempre definida e sem interrupções.
Passo 7
Como ambas as funções componentes,
e
, são contínuas em todo
, a função composta
também é contínua em todos os pontos do plano.
Resposta
A função
é contínua em todos os pontos no plano
.
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[2 pt] Responda com V (verdadeiro) ou F (falso). Não precisa justificar a resposta. (a) A integral
é negativa.
[1 pt] Qual das funções abaixo é contínua em todos pontos no plano
. Justifique a resposta. (a)
[2 pt] Responda com V (verdadeiro) ou F (falso). Não precisa justificar a resposta. (b) O teorema fundamental do cálculo implica que
.
[2 pt] Responda com V (verdadeiro) ou F (falso). Não precisa justificar a resposta. (f) A função
satisfaz à equação da onda
.