[1 pt] Qual das funções abaixo é contínua em todos pontos no plano R^2. Justifique a resposta.
(b) z = ln(y^2) + x^2 + 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente ver qual das funções dadas é contínua em todos os pontos do plano R^2. A função que vamos analisar é . Vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e verificar onde essa função está definida.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se não tem “quebras”, “saltos” ou “buracos” naquele ponto. No contexto de duas variáveis, a função precisa ser contínua em todos os pontos do plano R^2.

Passo 3

Agora, vamos analisar a função . A função logarítmica só está definida quando . No nosso caso, .

Passo 4

Vamos ver quando . Sabemos que y^2 é sempre maior ou igual a zero para qualquer valor de y. A única exceção é quando , onde . Nesse caso, não está definido, o que significa que a função z não está definida quando .

Passo 5

Como a função não está definida quando , isso cria uma “falha” ou “buraco” na linha onde no plano R^2. Portanto, a função não é contínua em todos os pontos desse plano, já que há uma linha inteira onde ela não existe.

Resposta

A função não é contínua em todos os pontos no plano R^2 porque não está definida quando .

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