[1 pt] Qual das funções abaixo é contínua em todos pontos no plano . Justifique a resposta.
(b)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente ver qual das funções dadas é contínua em todos os pontos do plano . A função que vamos analisar é . Vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e verificar onde essa função está definida.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se não tem “quebras”, “saltos” ou “buracos” naquele ponto. No contexto de duas variáveis, a função precisa ser contínua em todos os pontos do plano .

Passo 3

Agora, vamos analisar a função . A função logarítmica só está definida quando . No nosso caso, .

Passo 4

Vamos ver quando . Sabemos que é sempre maior ou igual a zero para qualquer valor de . A única exceção é quando , onde . Nesse caso, não está definido, o que significa que a função não está definida quando .

Passo 5

Como a função não está definida quando , isso cria uma “falha” ou “buraco” na linha onde no plano . Portanto, a função não é contínua em todos os pontos desse plano, já que há uma linha inteira onde ela não existe.

Resposta

A função não é contínua em todos os pontos no plano porque não está definida quando .

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[1 pt] Determine a derivada partial .
Nos problemas de 1 a 6 encontre duas soluções em série de potências da equação diferencial em torno do ponto ordinário .
Nos itens abaixo, determine .
[2 pt] Responda com V (verdadeiro) ou F (falso). Não precisa justificar a resposta.
(a) é uma função positiva no intervalo . O valor máximo de é .