Nos problemas de 1 a 6 encontre duas soluções em série de potências da equação diferencial em torno do ponto ordinário
.
Passo 1
Beleza, então a gente tem uma equação diferencial e precisa encontrar duas soluções usando séries de potências em torno de
. Isso significa que vamos assumir que as soluções podem ser expressas como somas infinitas de potências de
. Para resolver isso, vamos usar o método de séries de potências, que envolve substituir uma série na equação diferencial e encontrar os coeficientes que fazem a equação valer.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que uma das soluções pode ser escrita como uma série de potências:
Aqui,
são os coeficientes que precisamos determinar.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas dessa série, porque na equação diferencial geralmente temos
e
:
Essas derivadas serão substituídas na equação original.
Passo 4
Substituímos
,
e
na equação diferencial. Suponha que a equação seja algo como:
Depois de substituir, teremos uma série em termos de
. Para que essa equação seja válida para todos os
, os coeficientes de cada potência de
devem ser iguais a zero.
Passo 5
Identificamos os termos semelhantes e igualamos os coeficientes a zero para obter uma relação de recorrência para os
. Isso nos permitirá expressar cada coeficiente
em função dos anteriores, começando por
e
, que geralmente são os termos iniciais livres.
Passo 6
Determinar os coeficientes usando a relação de recorrência. Geralmente, temos que escolher valores para
e
para obter duas soluções linearmente independentes. Por exemplo, podemos escolher
e
para uma solução, e
e
para a outra.
Resposta
As duas soluções em série de potências da equação diferencial em torno do ponto ordinário
são:
Os coeficientes
são determinados usando a relação de recorrência obtida no Passo 5, garantindo que ambas as séries satisfaçam a equação diferencial original.
Exercícios relacionados
[1 pt] calcule o limite:
(a)
(a)
[2 pt] Calcule a integral definida:
(a)
(a)
[1 pt] Determine a derivada partial
.
[1 pt] Qual das funções abaixo é contínua em todos pontos no plano
. Justifique a resposta.
(b)
(b)