Nos problemas de 1 a 6 encontre duas soluções em série de potências da equação diferencial em torno do ponto ordinário .

Passo 1

Beleza, então a gente tem uma equação diferencial e precisa encontrar duas soluções usando séries de potências em torno de . Isso significa que vamos assumir que as soluções podem ser expressas como somas infinitas de potências de . Para resolver isso, vamos usar o método de séries de potências, que envolve substituir uma série na equação diferencial e encontrar os coeficientes que fazem a equação valer.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que uma das soluções pode ser escrita como uma série de potências:
Aqui, são os coeficientes que precisamos determinar.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas dessa série, porque na equação diferencial geralmente temos e :
Essas derivadas serão substituídas na equação original.

Passo 4

Substituímos , e na equação diferencial. Suponha que a equação seja algo como:
Depois de substituir, teremos uma série em termos de . Para que essa equação seja válida para todos os , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero.

Passo 5

Identificamos os termos semelhantes e igualamos os coeficientes a zero para obter uma relação de recorrência para os . Isso nos permitirá expressar cada coeficiente em função dos anteriores, começando por e , que geralmente são os termos iniciais livres.

Passo 6

Determinar os coeficientes usando a relação de recorrência. Geralmente, temos que escolher valores para e para obter duas soluções linearmente independentes. Por exemplo, podemos escolher e para uma solução, e e para a outra.

Resposta

As duas soluções em série de potências da equação diferencial em torno do ponto ordinário são:
Os coeficientes são determinados usando a relação de recorrência obtida no Passo 5, garantindo que ambas as séries satisfaçam a equação diferencial original.

Exercícios relacionados

[1 pt] calcule o limite:
(a)
[2 pt] Calcule a integral definida:
(a)
[1 pt] Determine a derivada partial .
[1 pt] Qual das funções abaixo é contínua em todos pontos no plano . Justifique a resposta.
(b)