[1 pt] Determine a derivada partial partial^2partial x partial y arctan (y sen x).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que encontrar a derivada parcial segunda mista . Isso envolve cálculo de derivadas parciais e funções compostas. Para resolver, vamos precisar aplicar as regras de derivação de funções trigonométricas e da função arco-tangente.

Passo 2

Vamos começar encontrando a primeira derivada parcial em relação a partial fpartial y = sin x1 + (y sin x)^2 da função .
Lembrando que a derivada de em relação a é . Aplicando a regra da cadeia:

Passo 3

Agora, precisamos derivar a expressão obtida em relação a partial^2 fpartial x partial y = cos x (1 + y^2 sin^2 x) - sin x (2 y^2 sin x cos x)(1 + y^2 sin^2 x)^2 para encontrar a derivada parcial segunda mista.
Vamos derivar em relação a . Usamos a regra do quociente:

Resposta

A derivada parcial segunda mista é:
partial^2partial x partial y arctan (y sin x) = cos x (1 + y^2 sin^2 x) - 2 y^2 sin^2 x cos x (1 + y^2 sin^2 x)^2

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