Nos itens abaixo, determine .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar as derivadas parciais de uma função em relação a e . A função dada é . Aqui, estamos trabalhando com cálculo de derivadas parciais, especificamente usando a regra da cadeia. Para resolver isso, vamos precisar entender como depende de e , e como e dependem de e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada parcial de em relação a ( ) mede como muda quando muda, mantendo constante. Da mesma forma para .

Passo 3

Como é uma função composta , vamos aplicar a regra da cadeia para derivadas parciais. A regra da cadeia nos diz que:
E de forma semelhante para :

Passo 4

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e . A função é .
Primeiro, a derivada de em relação a :
Em seguida, a derivada de em relação a :

Passo 5

Agora, substituímos essas derivadas na fórmula da regra da cadeia que vimos no Passo 3:

Resposta

As derivadas parciais são:

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[1 pt] Qual das funções abaixo é contínua em todos pontos no plano . Justifique a resposta.
(b)
[1 pt] Determine a derivada partial .
[2 pt] Responda com V (verdadeiro) ou F (falso). Não precisa justificar a resposta.
(a) é uma função positiva no intervalo . O valor máximo de é .
[2 pt] Responda com V (verdadeiro) ou F (falso). Não precisa justificar a resposta.
(f) Conjunto de nível zero da função são círculos concêntricos.