Nos itens abaixo, determine
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar as derivadas parciais de uma função
em relação a
e
. A função dada é
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo de derivadas parciais, especificamente usando a regra da cadeia. Para resolver isso, vamos precisar entender como
depende de
e
, e como
e
dependem de
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada parcial de
em relação a
(
) mede como
muda quando
muda, mantendo
constante. Da mesma forma para
.
Passo 3
Como
é uma função composta
, vamos aplicar a regra da cadeia para derivadas parciais. A regra da cadeia nos diz que:
E de forma semelhante para
:
Passo 4
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
. A função é
.
Primeiro, a derivada de
em relação a
:
Em seguida, a derivada de
em relação a
:
Passo 5
Agora, substituímos essas derivadas na fórmula da regra da cadeia que vimos no Passo 3:
Resposta
As derivadas parciais são: