Nos itens abaixo, determine partial fpartial x e partial fpartial y.
g(u, v)=ln (4 u^2+5 v^3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar as derivadas parciais de uma função em relação a e . A função dada é . Aqui, estamos trabalhando com cálculo de derivadas parciais, especificamente usando a regra da cadeia. Para resolver isso, vamos precisar entender como depende de e , e como e dependem de e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada parcial de em relação a ( ) mede como muda quando muda, mantendo constante. Da mesma forma para .

Passo 3

Como partial fpartial x = partial gpartial u cdot partial upartial x + partial gpartial v cdot partial vpartial x é uma função composta partial fpartial y = partial gpartial u cdot partial upartial y + partial gpartial v cdot partial vpartial y , vamos aplicar a regra da cadeia para derivadas parciais. A regra da cadeia nos diz que:
E de forma semelhante para :

Passo 4

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de partial gpartial u = 14u^2 + 5v^3 cdot 8u = 8u4u^2 + 5v^3 em relação a partial gpartial v = 14u^2 + 5v^3 cdot 15v^2 = 15v^24u^2 + 5v^3 e . A função é .
Primeiro, a derivada de em relação a :
Em seguida, a derivada de em relação a :

Passo 5

Agora, substituímos essas derivadas na fórmula da regra da cadeia que vimos no Passo 3:
partial fpartial x = 8u4u^2 + 5v^3 cdot partial upartial x + 15v^24u^2 + 5v^3 cdot partial vpartial x
partial fpartial y = 8u4u^2 + 5v^3 cdot partial upartial y + 15v^24u^2 + 5v^3 cdot partial vpartial y

Resposta

As derivadas parciais são:
partial fpartial x = 8u4u^2 + 5v^3 cdot partial upartial x + 15v^24u^2 + 5v^3 cdot partial vpartial x
partial fpartial y = 8u4u^2 + 5v^3 cdot partial upartial y + 15v^24u^2 + 5v^3 cdot partial vpartial y

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