[1 pt] Qual das funções abaixo é contínua em todos pontos no plano
. Justifique a resposta.
©
©
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está perguntando se a função
é contínua em todos os pontos do plano
. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de continuidade de funções de duas variáveis e analisar cada parte da função para ver se elas são contínuas em todo o plano.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua. Basicamente, uma função é contínua em um ponto se não há “saltos” ou “interrupções” no gráfico dela naquele ponto. Para funções de duas variáveis, queremos que isso aconteça em todos os pontos do plano
.
Passo 3
Vamos analisar a função
. Ela é composta por duas partes:
e
. Vamos ver se cada uma dessas partes é contínua.
Passo 4
Primeiro, considere
. Sabemos que polinômios, como
, são contínuos em todos os pontos do plano. Não tem problema aqui!
Passo 5
Agora, vamos para
. A função logarítmica
é contínua onde o seu argumento
é positivo. Então, precisamos que
.
Passo 6
Observando
, vemos que
é sempre maior ou igual a zero para qualquer real
. Portanto,
é sempre maior ou igual a 1, nunca zero ou negativo. Isso significa que
está sempre definido e contínuo para qualquer valor de
.
Passo 7
Como tanto
quanto
são contínuos em todos os pontos de
, a soma delas, que é a nossa função
, também será contínua em todos os pontos do plano.
Resposta
A função
é contínua em todos os pontos do plano
.
Exercícios relacionados
Nos itens abaixo
é uma função de três variáveis, calcule
e
[1 pt] Use o critério da convergência e mostre que a integral
é divergente.
Nos itens abaixo
é uma função de três variáveis, calcule
e
Nos itens abaixo
é uma função de três variáveis, calcule
e