[1 pt] Qual das funções abaixo é contínua em todos pontos no plano . Justifique a resposta.
©

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está perguntando se a função é contínua em todos os pontos do plano . Para resolver isso, vamos usar os conceitos de continuidade de funções de duas variáveis e analisar cada parte da função para ver se elas são contínuas em todo o plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua. Basicamente, uma função é contínua em um ponto se não há “saltos” ou “interrupções” no gráfico dela naquele ponto. Para funções de duas variáveis, queremos que isso aconteça em todos os pontos do plano .

Passo 3

Vamos analisar a função . Ela é composta por duas partes: e . Vamos ver se cada uma dessas partes é contínua.

Passo 4

Primeiro, considere . Sabemos que polinômios, como , são contínuos em todos os pontos do plano. Não tem problema aqui!

Passo 5

Agora, vamos para . A função logarítmica é contínua onde o seu argumento é positivo. Então, precisamos que .

Passo 6

Observando , vemos que é sempre maior ou igual a zero para qualquer real . Portanto, é sempre maior ou igual a 1, nunca zero ou negativo. Isso significa que está sempre definido e contínuo para qualquer valor de .

Passo 7

Como tanto quanto são contínuos em todos os pontos de , a soma delas, que é a nossa função , também será contínua em todos os pontos do plano.

Resposta

A função é contínua em todos os pontos do plano .

Exercícios relacionados

Nos itens abaixo é uma função de três variáveis, calcule e
[1 pt] Use o critério da convergência e mostre que a integral é divergente.
Nos itens abaixo é uma função de três variáveis, calcule e
Nos itens abaixo é uma função de três variáveis, calcule e