Nos itens abaixo f é uma função de três variáveis, calcule fx, fy e fz
f(x, y, z) = sen^(-1)(x y z)

Passo 1

Vamos resolver um exercício de derivadas parciais! A função que estamos analisando é . Nosso objetivo é calcular as derivadas parciais , e . Para isso, vamos precisar entender como aplicar a regra da cadeia na derivação de funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a x, ou seja, . A função é uma composição de duas funções: , onde . Para derivar isso, usamos a regra da cadeia, que nos diz para derivar a função externa e multiplicar pela derivada da função interna.
A derivada de em relação a u é:
Agora, derivamos a função interna em relação a x:
Multiplicando essas duas partes, temos:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a y, ou seja, . Novamente, usamos a regra da cadeia.
Derivada da função externa:
Derivada da função interna em relação a y:
Multiplicando as duas partes:

Passo 4

Por fim, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a z, ou seja, . Mais uma vez, aplicamos a regra da cadeia.
Derivada da função externa:
Derivada da função interna em relação a z:
Multiplicando as duas partes:

Resposta

As derivadas parciais da função são:

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