Nos itens abaixo é uma função de três variáveis, calcule e

Passo 1

Vamos resolver um exercício de derivadas parciais! A função que estamos analisando é . Nosso objetivo é calcular as derivadas parciais , e . Para isso, vamos precisar entender como aplicar a regra da cadeia na derivação de funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . A função é uma composição de duas funções: , onde . Para derivar isso, usamos a regra da cadeia, que nos diz para derivar a função externa e multiplicar pela derivada da função interna.
A derivada de em relação a é:
Agora, derivamos a função interna em relação a :
Multiplicando essas duas partes, temos:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Novamente, usamos a regra da cadeia.
Derivada da função externa:
Derivada da função interna em relação a :
Multiplicando as duas partes:

Passo 4

Por fim, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Mais uma vez, aplicamos a regra da cadeia.
Derivada da função externa:
Derivada da função interna em relação a :
Multiplicando as duas partes:

Resposta

As derivadas parciais da função são:

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[1 pt] Use o critério da convergência e mostre que a integral é divergente.
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[1 pt] Qual das funções abaixo é contínua em todos pontos no plano . Justifique a resposta.
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