Nos itens abaixo
é uma função de três variáveis, calcule
e
Passo 1
Vamos resolver um exercício de derivadas parciais! A função que estamos analisando é
. Nosso objetivo é calcular as derivadas parciais
,
e
. Para isso, vamos precisar entender como aplicar a regra da cadeia na derivação de funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. A função é uma composição de duas funções:
, onde
. Para derivar isso, usamos a regra da cadeia, que nos diz para derivar a função externa e multiplicar pela derivada da função interna.
A derivada de
em relação a
é:
Agora, derivamos a função interna
em relação a
:
Multiplicando essas duas partes, temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Novamente, usamos a regra da cadeia.
Derivada da função externa:
Derivada da função interna
em relação a
:
Multiplicando as duas partes:
Passo 4
Por fim, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Mais uma vez, aplicamos a regra da cadeia.
Derivada da função externa:
Derivada da função interna
em relação a
:
Multiplicando as duas partes:
Resposta
As derivadas parciais da função
são:
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é divergente.
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e
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. Justifique a resposta.
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