[1 pt] Use o critério da convergência e mostre que a integral integral0^1 1x-sen x d x é divergente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que a integral é divergente usando o critério da convergência. Isso está no conteúdo de cálculo integral, mais especificamente sobre testes de convergência de integrais impróprias. Para resolver, vamos precisar analisar o comportamento da função dentro da integral, especialmente nos pontos onde ela pode ter algum problema, como no limite inferior .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que acontece com a função x - sin x approx x - (x - x^36) = x^36 quando se aproxima de 0. Sabemos que pode ser aproximada por sua série de Taylor: para valores pequenos de . Então, substituindo na expressão:

Passo 3

Com isso, a função f(x) approx 1x^36 = 6x^3 fica aproximadamente:
Isso nos mostra que, perto de , a função se comporta como .

Passo 4

Agora, vamos comparar a integral original com a integral de uma função mais simples que sabemos seu comportamento. Consideramos a integral . Sabemos que, se essa integral divergir, então a original também diverge.

Passo 5

Calculando a integral comparativa:
integral0^1 1x^3 , dx = lima to 0^+ integrala^1 x^-3 , dx = lima to 0^+ [ x^-2-2 ]a^1 = lima to 0^+ ( -12 + 12a^2 )
Quando , tende ao infinito, então a integral diverge.

Passo 6

Como mostramos que se comporta como perto de e a integral diverge, pelo critério de comparação, a integral original também diverge.

Resposta

Portanto, a integral é divergente.

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