[1 pt] Use o critério da convergência e mostre que a integral
é divergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que a integral
é divergente usando o critério da convergência. Isso está no conteúdo de cálculo integral, mais especificamente sobre testes de convergência de integrais impróprias. Para resolver, vamos precisar analisar o comportamento da função dentro da integral, especialmente nos pontos onde ela pode ter algum problema, como no limite inferior
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que acontece com a função
quando
se aproxima de 0. Sabemos que
pode ser aproximada por sua série de Taylor:
para valores pequenos de
. Então, substituindo na expressão:
Passo 3
Com isso, a função
fica aproximadamente:
Isso nos mostra que, perto de
, a função se comporta como
.
Passo 4
Agora, vamos comparar a integral original com a integral de uma função mais simples que sabemos seu comportamento. Consideramos a integral
. Sabemos que, se essa integral divergir, então a original também diverge.
Passo 5
Calculando a integral comparativa:
Quando
,
tende ao infinito, então a integral
diverge.
Passo 6
Como mostramos que
se comporta como
perto de
e a integral
diverge, pelo critério de comparação, a integral original também diverge.
Resposta
Portanto, a integral
é divergente.