Nos itens abaixo é uma função de três variáveis, calcule e
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos pede para calcular as derivadas parciais , e de uma função de três variáveis. A função dada é . Aqui, estamos trabalhando com coordenadas esféricas, e precisamos encontrar como essa função varia em relação às coordenadas cartesianas , e . Para isso, vamos precisar usar a regra da cadeia para fazer a transformação e calcular as derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como as coordenadas esféricas se relacionam com as coordenadas cartesianas:
Nossa função pode ser reescrita em termos de , e . Observamos que:
Ou seja, é simplesmente a coordenada na forma esférica.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais , e . Já que , fica mais fácil:
- A derivada parcial de em relação a é:
- A derivada parcial de em relação a é:
- A derivada parcial de em relação a é: