Nos itens abaixo f é uma função de três variáveis, calcule fx, fy e fz
h(rho, varphi, theta) = rho * sen(varphi) * cos(theta)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para calcular as derivadas parciais , e de uma função de três variáveis. A função dada é . Aqui, estamos trabalhando com coordenadas esféricas, e precisamos encontrar como essa função varia em relação às coordenadas cartesianas , e . Para isso, vamos precisar usar a regra da cadeia para fazer a transformação e calcular as derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como as coordenadas esféricas se relacionam com as coordenadas cartesianas:
Nossa função pode ser reescrita em termos de , e . Observamos que:
Ou seja, é simplesmente a coordenada na forma esférica.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais , e . Já que , fica mais fácil:
  • A derivada parcial de em relação a é:
  • A derivada parcial de em relação a é:
  • A derivada parcial de em relação a é:

Resposta

As derivadas parciais são:

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