Nos itens abaixo
é uma função de três variáveis, calcule
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de três variáveis
e precisamos encontrar as derivadas parciais dessa função em relação a cada uma das variáveis:
,
e
. Isso faz parte do estudo de cálculo multivariável, especificamente das derivadas parciais. Vamos precisar entender como derivar uma função que depende de mais de uma variável, tratando as outras como constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial em relação a
, ou seja,
.
Quando derivamos em relação a
, consideramos
e
como constantes. A função é
.
A derivada de
em relação a
é
, e pelo regra da cadeia, multiplicamos pela derivada de
em relação a
.
Aqui,
, então
.
Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a
, ou seja,
.
Aqui, derivamos
em relação a
, tratando
e
como constantes.
A função é
.
Aplicamos a regra do produto:
Passo 4
Por fim, vamos encontrar a derivada parcial em relação a
, ou seja,
.
Neste caso, derivamos
em relação a
, enquanto
e
são constantes.
A função é
.
A derivada é simples, já que
é tratada como uma constante:
Resposta
As derivadas parciais da função são: