& [1] integralC y d s C: x=t^2, y=2 t, 0 <= t <= 3 & [3] integralC x y^4 d s C: metade direita da circunferência x^2+y^2=16 & [5] integralC(x^2 y+sen(x)) d y C: arco da parábola y=x^2 de (0,0) a (pi, pi^2) & [7] integralC(x+2 y) d x+x^2 d y C: segmentos de reta de (0,0) a (2,1) e de (2,10) a (3,0) & [9] integralC x^2 y d s C: x=cos (t), y=sen(t), z=t, 0 <= t <= pi / 2 & [11] integralC x e^y z d s C: é o segmento de reta de (0,0,0) a (1,2,3) & [13] integralC x y e^x z d y C: x=t, y=t^2 a=t^3, 0 <= t <= 1 & [15] integralC z^2 d x+x^2 d y+y^2 d z C: segmento de reta que une os pontos (1,0,0) a (4,1,2) êáé

Passo 1

E aí! Vamos resolver a integral de linha integralC y , ds, onde a curva C é definida pelas equações paramétricas x = t^2 e y = 2t, com t variando de 0 a 3. Aqui, estamos trabalhando com integrais de linha no cálculo, e vamos precisar usar as fórmulas para parametrização de curvas e o diferencial de arco ds.

Passo 2

Primeiro, precisamos expressar o diferencial de arco ds em termos do parâmetro t. A fórmula para ds é:
ds = raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 , dt
Vamos calcular as derivadas de x e y em relação a t.

Passo 3

Calculando as derivadas:
dxdt = ddt(t^2) = 2t dydt = ddt(2t) = 2

Passo 4

Substituindo essas derivadas na fórmula do ds:
ds = raiz(2t)^2 + (2)^2 , dt = raiz4t^2 + 4 , dt = 2raizt^2 + 1 , dt

Passo 5

Agora, vamos substituir y e ds na integral original:
integral0^3 y , ds = integral0^3 2t cdot 2raizt^2 + 1 , dt = 4 integral0^3 t raizt^2 + 1 , dt
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição. Seja u = t^2 + 1, então dudt = 2t, ou seja, t , dt = du2. Substituindo:
4 integralu(0)^u(3) raizu cdot du2 = 2 integral1^10 u^1/2 , du
Integrando:
2 cdot [ 23 u^3/2 ]1^10 = 43 (10^3/2 - 1^3/2) = 43 (10raiz10 - 1)

Resposta

O valor da integral é 43 (10raiz10 - 1).

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