Calcule pela definição:

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada de usando a definição de derivada. Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com derivadas. Para resolver, vamos precisar entender a definição de derivada e como aplicá-la a funções que envolvem raízes quadradas.

Passo 2

A definição de derivada de uma função em um ponto é:
Esse limite nos dá a taxa de variação instantânea da função no ponto .

Passo 3

Vamos aplicar essa definição à função . Substituindo na fórmula da derivada, temos:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro do limite. Primeiro, distribuímos o 2 dentro da raiz:

Passo 5

Para resolver esse limite, vamos racionalizar o numerador. Multiplicamos o numerador e o denominador pela conjugada do numerador:

Passo 6

Ao multiplicar, usamos a identidade . Assim, o numerador se torna:
Portanto, a expressão fica:

Passo 7

Podemos cancelar o no numerador e denominador:

Passo 8

Agora, ao fazer tender a zero, a expressão dentro da raiz com se torna :

Resposta

A derivada de é:

Exercícios relacionados

Calcule pela definição:
êáé
Use a regra da substituição para calcular as seguintes integrais indefinidas:
Demonstre as identidades, admitindo que as derivadas parciais apropriadas existem e são contínuas.
[Nota: o exercício pede a demonstração das identidades, mas não é necessário fazer isso: precisamos apenas conhecer essas fórmulas, não é necessário justificá-las.]