Calcule
pela definição:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada de
usando a definição de derivada. Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com derivadas. Para resolver, vamos precisar entender a definição de derivada e como aplicá-la a funções que envolvem raízes quadradas.
Passo 2
A definição de derivada de uma função
em um ponto
é:
Esse limite nos dá a taxa de variação instantânea da função no ponto
.
Passo 3
Vamos aplicar essa definição à função
. Substituindo na fórmula da derivada, temos:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro do limite. Primeiro, distribuímos o 2 dentro da raiz:
Passo 5
Para resolver esse limite, vamos racionalizar o numerador. Multiplicamos o numerador e o denominador pela conjugada do numerador:
Passo 6
Ao multiplicar, usamos a identidade
. Assim, o numerador se torna:
Portanto, a expressão fica:
Passo 7
Podemos cancelar o
no numerador e denominador:
Passo 8
Agora, ao fazer
tender a zero, a expressão dentro da raiz com
se torna
:
Resposta
A derivada de
é:
Exercícios relacionados
Calcule
pela definição:
Use a regra da substituição para calcular as seguintes integrais indefinidas:
Demonstre as identidades, admitindo que as derivadas parciais apropriadas existem e são contínuas.
[Nota: o exercício pede a demonstração das identidades, mas não é necessário fazer isso: precisamos apenas conhecer essas fórmulas, não é necessário justificá-las.]
[Nota: o exercício pede a demonstração das identidades, mas não é necessário fazer isso: precisamos apenas conhecer essas fórmulas, não é necessário justificá-las.]