Use o método das frações parciais para calcular as seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral:
. A gente vai usar o método das frações parciais, que é uma técnica para integrar funções racionais, ou seja, frações onde o numerador e o denominador são polinômios. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre substituições e decomposição de frações.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a integral fazendo uma substituição. Vamos deixar
. Então, a derivada de
em relação a
é
, ou seja,
.
Passo 3
Agora, substituímos na integral original:
Substituindo na integral:
Passo 4
Agora, precisamos decompor a fração
. Para isso, vamos perceber que o grau do numerador é igual ao grau do denominador, então fazemos uma divisão:
Isso simplifica a integral para:
Passo 5
Vamos separar a segunda integral:
Passo 6
Agora, para a integral
, note que:
Então, a integral se torna:
Passo 7
Simplificando, temos:
Passo 8
Sabemos que:
E também:
Passo 9
Substituindo na nossa expressão:
Passo 10
Lembrando que
, substituímos de volta:
Resposta
A integral
é igual a:
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Use o método das frações parciais para calcular as seguintes integrais:
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Calcule as respectivas derivadas: