Use o método das frações parciais para calcular as seguintes integrais: integral e^5 x(e^2 x+1)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . A gente vai usar o método das frações parciais, que é uma técnica para integrar funções racionais, ou seja, frações onde o numerador e o denominador são polinômios. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre substituições e decomposição de frações.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a integral fazendo uma substituição. Vamos deixar . Então, a derivada de em relação a é , ou seja, .

Passo 3

Agora, substituímos na integral original:
e^5x = (e^x)^5 = t^5
e^2x = (e^x)^2 = t^2
Substituindo na integral:
integral t^5(t^2+1)^2 cdot dtt = integral t^4(t^2+1)^2 , dt

Passo 4

Agora, precisamos decompor a fração t^4(t^2+1)^2 = 1 - 2t^2 + 1(t^2+1)^2 . Para isso, vamos perceber que o grau do numerador é igual ao grau do denominador, então fazemos uma divisão:
integral 1 , dt - integral 2t^2 + 1(t^2+1)^2 , dt
Isso simplifica a integral para:

Passo 5

Vamos separar a segunda integral:
integral 2t^2 + 1(t^2+1)^2 , dt = 2 integral t^2(t^2+1)^2 , dt + integral 1(t^2+1)^2 , dt

Passo 6

Agora, para a integral t^2(t^2+1)^2 = t^2+1 - 1(t^2+1)^2 = 1t^2+1 - 1(t^2+1)^2 , note que:
2 ( integral 1t^2+1 , dt - integral 1(t^2+1)^2 , dt ) + integral 1(t^2+1)^2 , dt
Então, a integral se torna:

Passo 7

Simplificando, temos:
2 integral 1t^2+1 , dt - 2 integral 1(t^2+1)^2 , dt + integral 1(t^2+1)^2 , dt = 2 integral 1t^2+1 , dt - integral 1(t^2+1)^2 , dt

Passo 8

Sabemos que:
integral 1t^2+1 , dt = tan^-1(t) + C
E também:
integral 1(t^2+1)^2 , dt = t2(t^2+1) + 12 tan^-1(t) + C

Passo 9

Substituindo na nossa expressão:
2 tan^-1(t) - ( t2(t^2+1) + 12 tan^-1(t) ) + C = 32 tan^-1(t) - t2(t^2+1) + C

Passo 10

Lembrando que 32 tan^-1(e^x) - e^x2(e^2x+1) + C , substituímos de volta:

Resposta

A integral 32 tan^-1(e^x) - e^x2(e^2x+1) + C é igual a:

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