Calcule as respectivas derivadas: f(x)=integralcos x^5 x cos (t^2) d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada da função . A matéria que vamos usar aqui é Cálculo Diferencial, especificamente a Regra de Leibniz para derivadas de integrais com limites variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como derivar uma integral cujo limites de integração dependem de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando temos uma função definida por uma integral com limites que dependem de ddx integrala(x)^b(x) f(t) , dt = f(b(x)) cdot b'(x) - f(a(x)) cdot a'(x) , a derivada dessa função pode ser encontrada usando a Fórmula de Leibniz:
Aqui, e .

Passo 3

Vamos identificar as partes da nossa função:
  • , então
  • , então

Passo 4

Aplicando a Fórmula de Leibniz:
f'(x) = cos((5x)^2) cdot 5 - cos((cos x)^2) cdot (-sin x)

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
f'(x) = 5 cos(25x^2) + sin x cdot cos(cos^2x)

Resposta

A derivada da função é:
f'(x) = 5 cos(25x^2) + sin x cdot cos(cos^2x)

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