m(t)=(t-k T)^2-2(t-k T)+1, T=2, k in N, k T <= t <=(k+1) T
(a) Assumindo que no processo de conversão A / D foi utilizada quantização uniforme, determine a SQNR (SNR de quantização) deste sinal (em dB).
(b) Se o sinal m(t) possui largura de banda B=15 kHz e for amostrado a uma taxa 20 % acima da taxa de Nyquist, qual será a largura de banda mínima do canal para transmitir o sinal codificado?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida no intervalo com e pertencente aos números naturais. A questão tem duas partes:
a) Determinar a SQNR (Relação Sinal-Ruído de Quantização) desse sinal em decibéis, assumindo que foi utilizada quantização uniforme no processo de conversão A/D.
b) Sabendo que o sinal tem uma largura de banda kHz e foi amostrado a uma taxa 20% acima da taxa de Nyquist, qual é a largura de banda mínima do canal para transmitir o sinal codificado?
Vamos resolver cada parte passo a passo.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a). Primeiro, precisamos entender o que é SQNR.
SQNR (Signal-to-Quantization-Noise Ratio): É a relação entre a potência do sinal útil e a potência do ruído introduzido pela quantização. Em termos simples, mede a qualidade da quantização no processo de conversão A/D. Quanto maior a SQNR, melhor a qualidade do sinal quantizado.
Para calcular a SQNR em dB, usamos a fórmula:
SQNR = 10 log10(E[m^2(t)]sigmaq^2)
onde:
  • sigmaq^2 = De é a energia média do sinal.
  • é a variância do ruído de quantização.
No caso da quantização uniforme, a variância do ruído de quantização é dada por:
onde é o passo de quantização.

Passo 3

Primeiro, precisamos determinar o valor de L = 2^n . Contudo, a questão não fornece diretamente o número de bits ou o intervalo de quantização. Vamos assumir que estamos lidando com uma quantização de De bits, o que é comum nesse tipo de problema.
O número de níveis de quantização De é:
E o passo de quantização é:
Sem informações sobre e , vamos considerar que o sinal está normalizado, ou seja, o sinal varia entre -1 e 1, então:

Passo 4

Agora, precisamos calcular m(t) = (t - kT)^2 - 2(t - kT) + 1 , a energia média do sinal. Vamos simplificar a expressão de m(t) = (t - kT - 1)^2 :
E[m^2(t)] = 1T integral0^T m^2(t) , dt = 1T integral0^T (t - 1)^4 , dt
Podemos reescrever isso como:
Para encontrar , precisamos calcular a média do quadrado desse sinal ao longo de um período . Assumindo que varia de a (já que ):

Passo 5

Vamos calcular essa integral:
integral (t - 1)^4 , dt = (t - 1)^55 + C
Avaliando de 0 a 2:
[ (t - 1)^55 ]0^2 = (2 - 1)^55 - (0 - 1)^55 = 15 - ( -15 ) = 25
Portanto:
E[m^2(t)] = 12 times 25 = 15 = 0,2

Passo 6

Agora, substituindo na fórmula da SQNR:
SQNR = 10 log10(0,2De
Como De:
SQNR = 10 log10(2,4 times 4^n-1) = 10 log10(2,4 times 4^n-1)
Substituindo:
SQNR = 10 log10(2,4 times 2^2(n-1)) = 10 log10(2,4) + 10 log10(2^2(n-1))
Note que SQNR = 10 times 0,3802 + 10 times 2(n-1) times 0,3010 = 3,802 + 6,02(n-1) , então:
SQNR = 6,02n - 6,02 + 3,802 = 6,02n - 2,218
Sabemos que SQNR (dB) approx 6,02 times n + 1,76 , então:
Simplificando:
Em geral, para grandes , a fórmula padrão para SQNR em quantização uniforme é aproximadamente:
Isso ocorre porque para um sinal senoidal, o termo constante ajusta a diferença.

Passo 7

Agora, vamos para a parte (b). Queremos saber a largura de banda mínima do canal para transmitir o sinal codificado, considerando:
  • Largura de banda do sinal fN = 2B kHz.
  • Taxa de amostragem 20% acima da taxa de Nyquist.
Primeiro, vamos lembrar o que é a taxa de Nyquist.
Taxa de Nyquist: É a taxa mínima de amostragem necessária para evitar aliasing e reconstruir completamente o sinal. Para um sinal com largura de banda fs = fN times 1,2 = 2B times 1,2 = 2,4B , a taxa de Nyquist é:
Portanto, a taxa de amostragem é 20% acima de :

Passo 8

Substituindo fs = 2,4 times 15 kHz = 36 kHz kHz:
Bc approx fs = 36 kHz
Agora, a largura de banda mínima do canal para transmitir o sinal codificado depende da modulação e da eficiência espectral. Assumindo uma modulação básica, como a modulação por largura de banda equivalente à taxa de amostragem, a largura de banda do canal será aproximadamente igual à taxa de amostragem:

Resposta

A largura de banda mínima do canal necessária para transmitir o sinal codificado é de aproximadamente 36 kHz.

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