(a) Assumindo que no processo de conversão foi utilizada quantização uniforme, determine a SQNR (SNR de quantização) deste sinal (em dB).
(b) Se o sinal possui largura de banda e for amostrado a uma taxa acima da taxa de Nyquist, qual será a largura de banda mínima do canal para transmitir o sinal codificado?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida no intervalo com e pertencente aos números naturais. A questão tem duas partes:
a) Determinar a SQNR (Relação Sinal-Ruído de Quantização) desse sinal em decibéis, assumindo que foi utilizada quantização uniforme no processo de conversão A/D.
b) Sabendo que o sinal tem uma largura de banda kHz e foi amostrado a uma taxa 20% acima da taxa de Nyquist, qual é a largura de banda mínima do canal para transmitir o sinal codificado?
Vamos resolver cada parte passo a passo.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a). Primeiro, precisamos entender o que é SQNR.
SQNR (Signal-to-Quantization-Noise Ratio): É a relação entre a potência do sinal útil e a potência do ruído introduzido pela quantização. Em termos simples, mede a qualidade da quantização no processo de conversão A/D. Quanto maior a SQNR, melhor a qualidade do sinal quantizado.
Para calcular a SQNR em dB, usamos a fórmula:
onde:
  • é a energia média do sinal.
  • é a variância do ruído de quantização.
No caso da quantização uniforme, a variância do ruído de quantização é dada por:
onde é o passo de quantização.

Passo 3

Primeiro, precisamos determinar o valor de . Contudo, a questão não fornece diretamente o número de bits ou o intervalo de quantização. Vamos assumir que estamos lidando com uma quantização de bits, o que é comum nesse tipo de problema.
O número de níveis de quantização é:
E o passo de quantização é:
Sem informações sobre e , vamos considerar que o sinal está normalizado, ou seja, o sinal varia entre -1 e 1, então:

Passo 4

Agora, precisamos calcular , a energia média do sinal. Vamos simplificar a expressão de :
Podemos reescrever isso como:
Para encontrar , precisamos calcular a média do quadrado desse sinal ao longo de um período . Assumindo que varia de a (já que ):

Passo 5

Vamos calcular essa integral:
Avaliando de 0 a 2:
Portanto:

Passo 6

Agora, substituindo na fórmula da SQNR:
Como :
Substituindo:
Note que , então:
Sabemos que , então:
Simplificando:
Em geral, para grandes , a fórmula padrão para SQNR em quantização uniforme é aproximadamente:
Isso ocorre porque para um sinal senoidal, o termo constante ajusta a diferença.

Passo 7

Agora, vamos para a parte (b). Queremos saber a largura de banda mínima do canal para transmitir o sinal codificado, considerando:
  • Largura de banda do sinal kHz.
  • Taxa de amostragem 20% acima da taxa de Nyquist.
Primeiro, vamos lembrar o que é a taxa de Nyquist.
Taxa de Nyquist: É a taxa mínima de amostragem necessária para evitar aliasing e reconstruir completamente o sinal. Para um sinal com largura de banda , a taxa de Nyquist é:
Portanto, a taxa de amostragem é 20% acima de :

Passo 8

Substituindo kHz:
Agora, a largura de banda mínima do canal para transmitir o sinal codificado depende da modulação e da eficiência espectral. Assumindo uma modulação básica, como a modulação por largura de banda equivalente à taxa de amostragem, a largura de banda do canal será aproximadamente igual à taxa de amostragem:

Resposta

A largura de banda mínima do canal necessária para transmitir o sinal codificado é de aproximadamente 36 kHz.

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Explique como a potência pode ser dada por: (1 ponto)
Ou
Para sistemas com ligação em estrela e em delta. (a explicação requer a utilização dos conceitos de tensão e corrente de fase e linha)
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(d) Se o sinal de áudio for amostrado a uma taxa acima da taxa de Nyquist e L for igual a 65536, qual será a largura de banda mínima do canal requerida para transmitir o sinal codificado?