(a) Assumindo que no processo de conversão
foi utilizada quantização uniforme, determine a SQNR (SNR de quantização) deste sinal (em dB).
(b) Se o sinal
possui largura de banda
e for amostrado a uma taxa
acima da taxa de Nyquist, qual será a largura de banda mínima do canal para transmitir o sinal codificado?
(b) Se o sinal
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
definida no intervalo
com
e
pertencente aos números naturais. A questão tem duas partes:
a) Determinar a SQNR (Relação Sinal-Ruído de Quantização) desse sinal em decibéis, assumindo que foi utilizada quantização uniforme no processo de conversão A/D.
b) Sabendo que o sinal
tem uma largura de banda
kHz e foi amostrado a uma taxa 20% acima da taxa de Nyquist, qual é a largura de banda mínima do canal para transmitir o sinal codificado?
Vamos resolver cada parte passo a passo.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a). Primeiro, precisamos entender o que é SQNR.
SQNR (Signal-to-Quantization-Noise Ratio): É a relação entre a potência do sinal útil e a potência do ruído introduzido pela quantização. Em termos simples, mede a qualidade da quantização no processo de conversão A/D. Quanto maior a SQNR, melhor a qualidade do sinal quantizado.
Para calcular a SQNR em dB, usamos a fórmula:
onde:
-
é a energia média do sinal. -
é a variância do ruído de quantização.
No caso da quantização uniforme, a variância do ruído de quantização é dada por:
onde
é o passo de quantização.
Passo 3
Primeiro, precisamos determinar o valor de
. Contudo, a questão não fornece diretamente o número de bits ou o intervalo de quantização. Vamos assumir que estamos lidando com uma quantização de
bits, o que é comum nesse tipo de problema.
O número de níveis de quantização
é:
E o passo de quantização
é:
Sem informações sobre
e
, vamos considerar que o sinal está normalizado, ou seja, o sinal varia entre -1 e 1, então:
Passo 4
Agora, precisamos calcular
, a energia média do sinal. Vamos simplificar a expressão de
:
Podemos reescrever isso como:
Para encontrar
, precisamos calcular a média do quadrado desse sinal ao longo de um período
. Assumindo que
varia de
a
(já que
):
Passo 5
Vamos calcular essa integral:
Avaliando de 0 a 2:
Portanto:
Passo 6
Agora, substituindo na fórmula da SQNR:
Como
:
Substituindo:
Note que
, então:
Sabemos que
, então:
Simplificando:
Em geral, para grandes
, a fórmula padrão para SQNR em quantização uniforme é aproximadamente:
Isso ocorre porque para um sinal senoidal, o termo constante ajusta a diferença.
Passo 7
Agora, vamos para a parte (b). Queremos saber a largura de banda mínima do canal para transmitir o sinal codificado, considerando:
- Largura de banda do sinal
kHz. - Taxa de amostragem 20% acima da taxa de Nyquist.
Primeiro, vamos lembrar o que é a taxa de Nyquist.
Taxa de Nyquist: É a taxa mínima de amostragem necessária para evitar aliasing e reconstruir completamente o sinal. Para um sinal com largura de banda
, a taxa de Nyquist é:
Portanto, a taxa de amostragem
é 20% acima de
:
Passo 8
Substituindo
kHz:
Agora, a largura de banda mínima do canal para transmitir o sinal codificado depende da modulação e da eficiência espectral. Assumindo uma modulação básica, como a modulação por largura de banda equivalente à taxa de amostragem, a largura de banda do canal
será aproximadamente igual à taxa de amostragem:
Resposta
A largura de banda mínima do canal necessária para transmitir o sinal codificado é de aproximadamente 36 kHz.