(a) Defina o primeiro critério de Nyquist e escreva a expressão para o pulso
que atende ao critério de Nyquist para ISI nula;
(b) Encontre a largura de banda de transmissão (BT) se o primeiro critério de Nyquist for utilizado com fator de roll-off igual a
. A taxa de amostragem deve ser de no mínimo
acima da taxa de Nyquist.
© Assumindo, em um primeiro momento, que as amostras do sinal da letra (a) eram representadas no domínio do tempo por meio de pulsos do tipo
, e que, em um segundo momento, o primeiro critério de Nyquist da letra (b) foi aplicado. Desenhe, no domínio da frequência, em um mesmo gráfico, as curvas do primeiro e segundo momento supracitados. Indique, no gráfico, tanto no eixo das abscissas quanto no eixo das ordenadas, as marcações pertinentes. Por exemplo: amplitudes máximas e mínimas do sinal.
(b) Encontre a largura de banda de transmissão (BT) se o primeiro critério de Nyquist for utilizado com fator de roll-off igual a
© Assumindo, em um primeiro momento, que as amostras do sinal da letra (a) eram representadas no domínio do tempo por meio de pulsos do tipo
Passo 1
Vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. O exercício aborda o primeiro critério de Nyquist, que é fundamental para evitar a Interferência entre Símbolos (ISI) em sistemas de transmissão digital. Precisamos entender esse critério e como aplicá-lo para determinar o pulso
que atende a esse critério, calcular a largura de banda de transmissão com um fator de roll-off específico e comparar as representações no domínio da frequência de dois tipos de pulsos.
Passo 2
Parte (a): Definir o primeiro critério de Nyquist e escrever a expressão para o pulso
que atende ao critério de Nyquist para ISI nula.
O primeiro critério de Nyquist estabelece que, para evitar a Interferência entre Símbolos (ISI), o pulso de transmissão
deve satisfazer a condição de que, na recepção, o símbolo transmitido em qualquer tempo
(onde
é o período de símbolo e
é um inteiro) não cause interferência nos símbolos anteriores ou posteriores. Matematicamente, isso significa que:
Onde
é a delta de Kronecker, que é 1 quando
e 0 caso contrário. Isso garante que apenas o símbolo atual contribua para a recuperação correta do sinal, eliminando a ISI.
Um exemplo clássico de pulso que atende ao primeiro critério de Nyquist é o pulso de Nyquist com resposta em impulso do tipo “sinc” modificado. A expressão para esse pulso
é dada por:
Onde
é a taxa de símbolos (baud rate), ou seja,
.
Passo 3
Parte (b): Encontrar a largura de banda de transmissão (BT) se o primeiro critério de Nyquist for utilizado com fator de roll-off igual a 0,5 (
). A taxa de amostragem deve ser de no mínimo 25% acima da taxa de Nyquist.
Primeiro, vamos entender alguns conceitos:
-
Taxa de Nyquist (
): É o dobro da taxa de símbolos, ou seja, . -
Fator de roll-off (
): Define a extensão da banda além da banda de Nyquist para controlar a transição na resposta em frequência. significa que a largura de banda será aumentada em 50% al��m da banda de Nyquist. -
Largura de banda de transmissão (
): É a largura total da banda necessária para transmitir o sinal sem ISI, considerando o fator de roll-off.
A expressão para a largura de banda com o primeiro critério de Nyquist e fator de roll-off
é:
Substituindo
:
Agora, a taxa de amostragem (
) deve ser de pelo menos 25% acima da taxa de Nyquist:
Passo 4
Parte ©: Desenhar, no domínio da frequência, as curvas dos pulsos
e o pulso após aplicar o primeiro critério de Nyquist com fator de roll-off
. Indicar as marcações pertinentes nos eixos.
Embora não possamos desenhar diretamente aqui, vamos descrever como seriam os gráficos:
-
Pulso original
: - Domínio da Frequência: A transformada de Fourier desse pulso é uma função retangular, ou seja, uma faixa de frequência limitada a
Hz. Isso significa que a largura de banda é exatamente (de a ).
- Domínio da Frequência: A transformada de Fourier desse pulso é uma função retangular, ou seja, uma faixa de frequência limitada a
-
Pulso após aplicar o primeiro critério de Nyquist com
: - Domínio da Frequência: A presença do fator de roll-off
altera a transformada de Fourier para uma forma que não é mais retangular, mas sim uma função com transição suave nas bordas. A largura de banda agora é (de a ). - A curva terá amplitudes máximas nas bandas de base (
) e diminuirá suavemente nas regiões de transição até .
- Domínio da Frequência: A presença do fator de roll-off
Marcações nos Eixos:
- Eixo das Abscissas (Frequência):
- Marcar
, , e .
- Marcar
- Eixo das Ordenadas (Amplitude):
- Indicar os valores máximos das amplitudes das funções de frequência. Para o pulso original, será constante dentro de
a e zero fora. Para o pulso com roll-off, a amplitude começa a diminuir após até .
- Indicar os valores máximos das amplitudes das funções de frequência. Para o pulso original, será constante dentro de
Resposta
Através dos passos apresentados:
a) O primeiro critério de Nyquist para ISI nula exige que o pulso
.
b) A largura de banda de transmissão
com fator de roll-off
é
e a taxa de amostragem mínima é
.
c) No domínio da frequência, o pulso original apresenta uma faixa retangular até
, enquanto o pulso modificado com roll-off
expande suavemente para
, com as respectivas marcações nos eixos de frequência e amplitude.
Exercícios relacionados
(a) Assumindo que no processo de conversão
foi utilizada quantização uniforme, determine a SQNR (SNR de quantização) deste sinal (em dB).
(b) Se o sinal possui largura de banda
e for amostrado a uma taxa
acima da taxa de Nyquist, qual será a largura de banda mínima do canal para transmitir o sinal codificado?
(b) Se o sinal
Um motor trifásico de 30hp (potência mecânica), ligado em estrela, fator de potência
em atraso e eficiência de
, opera a plena carga, sob a tensão de fase de nominal de 127 V. Calcule (2 pontos):
a. Corrente requerida pelo motor em Amperes
b. Valores de e
absorvidos pelo motor.
c. O capacitor necessário para a correção do fator de potência exigido para o bom funcionamento da instalação ( ).
a. Corrente requerida pelo motor em Amperes
b. Valores de
c. O capacitor necessário para a correção do fator de potência exigido para o bom funcionamento da instalação (
(a) Se for utilizado quantização uniforme com
, quantos bits serão necessários para codificar uma amostra de áudio?
(b) Se o sinal de áudio tem potência mídia de 0,2 Watts e tensão de pico de 1,5 Volts. Qual a SQNR (SNR de quantização) do quantizador utilizado na letra (a)?
© Se o sinal de áudio for amostrado utilizando a taxa de Nyquist e o sistema utilizar o quantizador da letra (a), qual será a taxa de transmissão (dada em kbps)?
(d) Se o sinal de áudio for amostrado a uma taxa acima da taxa de Nyquist e L for igual a 65536, qual será a largura de banda mínima do canal requerida para transmitir o sinal codificado?
(b) Se o sinal de áudio tem potência mídia de 0,2 Watts e tensão de pico de 1,5 Volts. Qual a SQNR (SNR de quantização) do quantizador utilizado na letra (a)?
© Se o sinal de áudio for amostrado utilizando a taxa de Nyquist e o sistema utilizar o quantizador da letra (a), qual será a taxa de transmissão (dada em kbps)?
(d) Se o sinal de áudio for amostrado a uma taxa
Analise as seguintes afirmativas:
I. O sinal é periódico com período igual a .
II. A amplitude mínima desse sinal é de -3 Volts.
III. A frequência desse sinal é de 200 Hz .
IV. O valor médio de tensão do sinal é 2 Volts.
Assinale a alternativa CORRETA:
(a) Somente as afirmativas I, II e IV são verdadeiras.
(b) Somente as afirmativas I, II e III são verdadeiras.
© Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.
(d) Somente as afirmativas III e IV são verdadeiras.
(e) Somente as afirmativas I e IV são verdadeiras.
I. O sinal é periódico com período igual a
II. A amplitude mínima desse sinal é de -3 Volts.
III. A frequência desse sinal é de 200 Hz .
IV. O valor médio de tensão do sinal é 2 Volts.
Assinale a alternativa CORRETA:
(a) Somente as afirmativas I, II e IV são verdadeiras.
(b) Somente as afirmativas I, II e III são verdadeiras.
© Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.
(d) Somente as afirmativas III e IV são verdadeiras.
(e) Somente as afirmativas I e IV são verdadeiras.