[1 ponto ] Calcule a área do triângulo de vértices em (1,4,6),(-2,5,-1) e (1,-1,1).
(A) 53 raiz82
(B) 5 raiz82
© 54 raiz82
(D) 32 raiz82
(E) 52 raiz82
(F) 2 raiz82

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área de um triângulo cujos vértices estão em três pontos no espaço 3D: (1,4,6), (-2,5,-1) e (1,-1,1). Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria vetorial, especificamente o cálculo da área de um triângulo usando o produto vetorial de dois vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os três pontos: vamos chamar eles de A(1,4,6), B(-2,5,-1) e C(1,-1,1). Nosso objetivo é encontrar a área do triângulo formado por esses pontos.

Passo 3

Para encontrar a área, precisamos construir dois vetores que representem os lados do triângulo. Vamos usar os vetores AB e AC. Para isso, subtraímos as coordenadas de A das coordenadas de B e C respectivamente:
AB = B - A = (-2-1, 5-4, -1-6) = (-3, 1, -7)
AC = C - A = (1-1, -1-4, 1-6) = (0, -5, -5)

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto vetorial AB times AC. O produto vetorial de dois vetores no espaço 3D resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais, e sua magnitude está relacionada à área do paralelogramo formado por AB e AC.
AB times AC = i & j & k -3 & 1 & -7 0 & -5 & -5
Calculando o determinante:
AB times AC = i(1 cdot (-5) - (-7) cdot (-5)) - j(-3 cdot (-5) - (-7) cdot 0) + k(-3 cdot (-5) - 1 cdot 0)
= i(-5 - 35) - j(15 - 0) + k(15 - 0)
= -40i - 15j + 15k
Então, AB times AC = (-40, -15, 15).

Passo 5

Agora, vamos encontrar a magnitude desse vetor resultante, que nos dará a área do paralelogramo:
|AB times AC| = raiz(-40)^2 + (-15)^2 + 15^2 = raiz1600 + 225 + 225 = raiz2050
Simplificando raiz2050:
2050 = 25 times 82 Rightarrow raiz2050 = 5raiz82

Passo 6

A área do triângulo é metade da área do paralelogramo:
Área = 12 times |AB times AC| = 12 times 5raiz82 = 52raiz82 Á

Resposta

A área do triângulo é 52 raiz82.

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