ponto Calcule a área do triângulo de vértices em e .
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área de um triângulo cujos vértices estão em três pontos no espaço 3D: , e . Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria vetorial, especificamente o cálculo da área de um triângulo usando o produto vetorial de dois vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os três pontos: vamos chamar eles de , e . Nosso objetivo é encontrar a área do triângulo formado por esses pontos.

Passo 3

Para encontrar a área, precisamos construir dois vetores que representem os lados do triângulo. Vamos usar os vetores e . Para isso, subtraímos as coordenadas de das coordenadas de e respectivamente:

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto vetorial . O produto vetorial de dois vetores no espaço 3D resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais, e sua magnitude está relacionada à área do paralelogramo formado por e .
Calculando o determinante:
Então, .

Passo 5

Agora, vamos encontrar a magnitude desse vetor resultante, que nos dará a área do paralelogramo:
Simplificando :

Passo 6

A área do triângulo é metade da área do paralelogramo:
Á

Resposta

A área do triângulo é .

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[1 ponto] A equação do plano que passa pelos pontos
é dada por:
(A)
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(E)
(B)
(D)
(F)
ponto] Qual a projeção do vetor em ?
(A)
©
(E)
(B)
(D)
(F)
[1 ponto] Convertendo a equação cartesiana para o sistema de coordenadas esférico, obtemos:
(A)
©
(E)
(B)
(D)
(F)
Identifique as quádricas representada por cada uma das equações a seguir. Construa o gráfico.