Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área de um triângulo cujos vértices estão em três pontos no espaço 3D: , e . Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria vetorial, especificamente o cálculo da área de um triângulo usando o produto vetorial de dois vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os três pontos: vamos chamar eles de , e . Nosso objetivo é encontrar a área do triângulo formado por esses pontos.
Passo 3
Para encontrar a área, precisamos construir dois vetores que representem os lados do triângulo. Vamos usar os vetores e . Para isso, subtraímos as coordenadas de das coordenadas de e respectivamente:
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto vetorial . O produto vetorial de dois vetores no espaço 3D resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais, e sua magnitude está relacionada à área do paralelogramo formado por e .
Calculando o determinante:
Então, .
Passo 5
Agora, vamos encontrar a magnitude desse vetor resultante, que nos dará a área do paralelogramo:
Simplificando :
Passo 6
A área do triângulo é metade da área do paralelogramo: