Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área de um triângulo cujos vértices estão em três pontos no espaço 3D: , e . Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria vetorial, especificamente o cálculo da área de um triângulo usando o produto vetorial de dois vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os três pontos: vamos chamar eles de , e . Nosso objetivo é encontrar a área do triângulo formado por esses pontos.
Passo 3
Para encontrar a área, precisamos construir dois vetores que representem os lados do triângulo. Vamos usar os vetores e . Para isso, subtraímos as coordenadas de das coordenadas de e respectivamente:
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto vetorial . O produto vetorial de dois vetores no espaço 3D resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais, e sua magnitude está relacionada à área do paralelogramo formado por e .
Calculando o determinante:
AB times AC = i(1 cdot (-5) - (-7) cdot (-5)) - j(-3 cdot (-5) - (-7) cdot 0) + k(-3 cdot (-5) - 1 cdot 0)
= i(-5 - 35) - j(15 - 0) + k(15 - 0)
= -40i - 15j + 15k
Então, AB times AC = (-40, -15, 15).
Passo 5
Agora, vamos encontrar a magnitude desse vetor resultante, que nos dará a área do paralelogramo: