[1 ponto] A equação do plano que passa pelos pontos
é dada por:
(A)
©
(E)
(B)
(D)
(F)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a equação do plano que passa pelos pontos , e . Esse problema está relacionado ao conteúdo de geometria analítica, especificamente com a determinação de equações de planos no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar utilizar vetores, produto vetorial e a forma geral da equação de um plano.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que um plano no espaço pode ser definido por três pontos não colineares. Para encontrar a equação desse plano, vamos seguir alguns passos:
  1. Encontrar dois vetores que estão no plano: Podemos fazer isso calculando os vetores que ligam os pontos dados.
  2. Calcular o produto vetorial desses vetores: O produto vetorial nos dará um vetor normal ao plano.
  3. Usar a equação geral do plano: Com o vetor normal e um dos pontos, podemos montar a equação do plano.

Passo 3

Vamos começar encontrando os vetores que estão no plano. Vamos chamar de o vetor que vai de a , e de o vetor que vai de a .
Calculando :
Calculando :

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto vetorial . Esse produto nos dará um vetor normal ao plano.
Calculando o determinante:
Portanto, o vetor normal ao plano é .

Passo 5

Com o vetor normal e um ponto que está no plano, podemos usar a forma geral da equação do plano:
Onde são as componentes do vetor normal e são as coordenadas do ponto conhecido.
Substituindo os valores:
Rearranjando para a forma padrão:

Passo 6

Agora, vamos comparar a equação que encontramos com as opções fornecidas no exercício:
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
Observamos que a equação corresponde à opção (F).

Resposta

A equação do plano é . Portanto, a alternativa correta é a (F).

Exercícios relacionados

ponto] Qual a projeção do vetor em ?
(A)
©
(E)
(B)
(D)
(F)
Identifique as quádricas representada por cada uma das equações a seguir. Construa o gráfico.
ponto Calcule a área do triângulo de vértices em e .
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
[1 ponto] Convertendo a equação cartesiana para o sistema de coordenadas esférico, obtemos:
(A)
©
(E)
(B)
(D)
(F)