Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a equação do plano que passa pelos pontos , e . Esse problema está relacionado ao conteúdo de geometria analítica, especificamente com a determinação de equações de planos no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar utilizar vetores, produto vetorial e a forma geral da equação de um plano.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que um plano no espaço pode ser definido por três pontos não colineares. Para encontrar a equação desse plano, vamos seguir alguns passos:
Encontrar dois vetores que estão no plano: Podemos fazer isso calculando os vetores que ligam os pontos dados.
Calcular o produto vetorial desses vetores: O produto vetorial nos dará um vetor normal ao plano.
Usar a equação geral do plano: Com o vetor normal e um dos pontos, podemos montar a equação do plano.
Passo 3
Vamos começar encontrando os vetores que estão no plano. Vamos chamar de o vetor que vai de a , e de o vetor que vai de a .
Calculando :
Calculando :
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto vetorial . Esse produto nos dará um vetor normal ao plano.
Calculando o determinante:
Portanto, o vetor normal ao plano é .
Passo 5
Com o vetor normal e um ponto que está no plano, podemos usar a forma geral da equação do plano:
Onde são as componentes do vetor normal e são as coordenadas do ponto conhecido.
Substituindo os valores:
Rearranjando para a forma padrão:
Passo 6
Agora, vamos comparar a equação que encontramos com as opções fornecidas no exercício: