[1 ponto] A equação do plano que passa pelos pontos
P=(1,0,-1), Q=(2,2,1), R=(5,1,2)
é dada por:
(A) 2 x+5 y-1 z=-9
© 5 x+7 y-8 z=13
(E) -x+5 y-7 z=11
(B) 3 x+6 y-7 z=12
(D) x+15 y-6 z=10
(F) 4 x+5 y-7 z=11

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a equação do plano que passa pelos pontos , e . Esse problema está relacionado ao conteúdo de geometria analítica, especificamente com a determinação de equações de planos no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar utilizar vetores, produto vetorial e a forma geral da equação de um plano.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que um plano no espaço pode ser definido por três pontos não colineares. Para encontrar a equação desse plano, vamos seguir alguns passos:
  1. Encontrar dois vetores que estão no plano: Podemos fazer isso calculando os vetores que ligam os pontos dados.
  2. Calcular o produto vetorial desses vetores: O produto vetorial nos dará um vetor normal ao plano.
  3. Usar a equação geral do plano: Com o vetor normal e um dos pontos, podemos montar a equação do plano.

Passo 3

Vamos começar encontrando os vetores que estão no plano. Vamos chamar de PQ = Q - P = (2-1, 2-0, 1-(-1)) = (1, 2, 2) o vetor que vai de PR = R - P = (5-1, 1-0, 2-(-1)) = (4, 1, 3) a , e de o vetor que vai de a .
Calculando :
Calculando :

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto vetorial PQ times PR = i & j & k 1 & 2 & 2 4 & 1 & 3 . Esse produto nos dará um vetor normal ao plano.
PQ times PR = i(2 cdot 3 - 2 cdot 1) - j(1 cdot 3 - 2 cdot 4) + k(1 cdot 1 - 2 cdot 4) = i(6 - 2) - j(3 - 8) + k(1 - 8)
Calculando o determinante:
= 4i + 5j - 7k
= (4, 5, -7)
Portanto, o vetor normal ao plano é .

Passo 5

Com o vetor normal a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0 e um ponto 4(x - 1) + 5(y - 0) - 7(z - (-1)) = 0 que está no plano, podemos usar a forma geral da equação do plano:
4x - 4 + 5y - 7z - 7 = 0
Onde 4x + 5y - 7z - 11 = 0 são as componentes do vetor normal e 4x + 5y - 7z = 11 são as coordenadas do ponto conhecido.
Substituindo os valores:
Rearranjando para a forma padrão:

Passo 6

Agora, vamos comparar a equação que encontramos com as opções fornecidas no exercício:
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
Observamos que a equação corresponde à opção (F).

Resposta

A equação do plano é . Portanto, a alternativa correta é a (F).

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