[1 ponto] Considerando z = r * e^(i * theta), com pi / 2 <= theta < 5 pi / 2, calcule: 0.5 pontos log(i);

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Precisamos calcular o logaritmo do número imaginário i. Para isso, vamos utilizar a representação de números complexos na forma polar, que é . Vamos precisar conhecer o módulo r e o argumento theta de i para aplicar a fórmula do logaritmo complexo.

Passo 2

Vamos identificar o módulo r de i. O módulo de um número complexo é dado por . No caso de i, temos e , então:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o argumento theta de i. O argumento é o ângulo que o número complexo forma com o eixo real positivo no plano complexo. Sabemos que i está diretamente no eixo imaginário positivo, o que corresponde a:
Note que o intervalo dado para theta é , e pi / 2 está dentro desse intervalo.

Passo 4

A fórmula para o logaritmo de um número complexo é:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 5

Sabemos que , então a expressão simplifica para:

Resposta

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