(Mack SP) Num triângulo, retângulo, um cateto é o dobro do outro. Então a razão entre o maior e o menor dos segmentos determinados pela altura sobre a hipotenusa é:
a. 2
b. 3
c. 4
d. 3/2
e.
a. 2
b. 3
c. 4
d. 3/2
e.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um triângulo retângulo onde um dos catetos é o dobro do outro. A gente precisa descobrir a razão entre o maior e o menor dos segmentos que a altura sobre a hipotenusa determina. Para isso, vamos usar um pouco de geometria, especialmente o Teorema de Pitágoras e algumas propriedades das alturas em triângulos retângulos.
Passo 2
Primeiro, vamos nomear os lados do triângulo. Vamos chamar o cateto menor de
e, como o outro cateto é o dobro, ele será
. A hipotenusa, que é o lado mais longo do triângulo retângulo, vamos chamar de
.
Passo 3
Agora, vamos usar o Teorema de Pitágoras para encontrar a hipotenusa
. Esse teorema diz que, em um triângulo retângulo:
Substituindo
por
:
Passo 4
Com a hipotenusa encontrada, vamos determinar a altura
sobre a hipotenusa. A fórmula para a altura em um triângulo retângulo é:
Substituindo
e
:
Passo 5
A altura
divide a hipotenusa
em dois segmentos, vamos chamar de
(menor) e
(maior). Existe uma relação que diz que esses segmentos podem ser calculados usando os quadrados dos lados:
Substituindo os valores:
Passo 6
Agora, queremos a razão entre o maior (
) e o menor (
):
Resposta
A razão entre o maior e o menor dos segmentos é 4. Portanto, a resposta correta é a opção c. 4.
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