(a) [1,5 ponto] Determine as bissetrizes das retas s: 3 x+4 y=7 e t: x+5 y=6. Use um sistema de coordenadas e esboce os gráficos de todas as retas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão quer é que a gente encontre as bissetrizes das retas e . Estamos lidando com geometria analítica, mais especificamente com bissetrizes de ângulos entre retas. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como encontrar as bissetrizes entre duas retas e depois desenhar tudo no plano cartesiano.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar as equações das retas no formato padrão :
  • Para a reta :
  • Para a reta :

Passo 3

Agora, para encontrar as bissetrizes dos ângulos formados pelas duas retas, usamos a fórmula das bissetrizes:
a1x + b1y + c1raiza1^2 + b1^2 = pm a2x + b2y + c2raiza2^2 + b2^2
Aqui, são os coeficientes da primeira reta e da segunda.

Passo 4

Vamos identificar os coeficientes:
  • Para raiz3^2 + 4^2 = raiz9 + 16 = 5 : raiz1^2 + 5^2 = raiz1 + 25 = raiz26 , ,
  • Para : , ,
Calculamos os denominadores:

Passo 5

Aplicando na fórmula das bissetrizes:
3x + 4y - 75 = pm x + 5y - 6raiz26
Multiplicando ambos os lados por raiz26(3x + 4y - 7) = pm 5(x + 5y - 6) para eliminar os denominadores:

Passo 6

Resolvendo para os dois casos, o sinal positivo e o negativo:
Caso +:
raiz26(3x + 4y - 7) = 5(x + 5y - 6)
Distribuindo:
3raiz26x + 4raiz26y - 7raiz26 = 5x + 25y - 30
Levantando tudo para um lado:
(3raiz26 - 5)x + (4raiz26 - 25)y = 7raiz26 - 30
Esta é uma das bissetrizes.
Caso -:
raiz26(3x + 4y - 7) = -5(x + 5y - 6)
Distribuindo:
3raiz26x + 4raiz26y - 7raiz26 = -5x - 25y + 30
Levantando tudo para um lado:
(3raiz26 + 5)x + (4raiz26 + 25)y = 7raiz26 + 30
Esta é a outra bissetriz.

Passo 7

Simplificando as equações das bissetrizes:
Bissetriz 1:
(3raiz26 - 5)x + (4raiz26 - 25)y = 7raiz26 - 30
Bissetriz 2:
(3raiz26 + 5)x + (4raiz26 + 25)y = 7raiz26 + 30
Essas são as duas bissetrizes dos ângulos formados pelas retas e .

Resposta

As bissetrizes das retas (3raiz26 - 5)x + (4raiz26 - 25)y = 7raiz26 - 30 e (3raiz26 + 5)x + (4raiz26 + 25)y = 7raiz26 + 30 são dadas pelas equações:
e
Além disso, os gráficos das retas , e suas bissetrizes podem ser esboçados no sistema de coordenadas para visualização completa.

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