(a) [1,5 ponto] Determine as bissetrizes das retas
e
. Use um sistema de coordenadas e esboce os gráficos de todas as retas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão quer é que a gente encontre as bissetrizes das retas
e
. Estamos lidando com geometria analítica, mais especificamente com bissetrizes de ângulos entre retas. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como encontrar as bissetrizes entre duas retas e depois desenhar tudo no plano cartesiano.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar as equações das retas no formato padrão
:
- Para a reta
: - Para a reta
:
Passo 3
Agora, para encontrar as bissetrizes dos ângulos formados pelas duas retas, usamos a fórmula das bissetrizes:
Aqui,
são os coeficientes da primeira reta e
da segunda.
Passo 4
Vamos identificar os coeficientes:
- Para
: , , - Para
: , ,
Calculamos os denominadores:
Passo 5
Aplicando na fórmula das bissetrizes:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Passo 6
Resolvendo para os dois casos, o sinal positivo e o negativo:
Caso +:
Distribuindo:
Levantando tudo para um lado:
Esta é uma das bissetrizes.
Caso -:
Distribuindo:
Levantando tudo para um lado:
Esta é a outra bissetriz.
Passo 7
Simplificando as equações das bissetrizes:
Bissetriz 1:
Bissetriz 2:
Essas são as duas bissetrizes dos ângulos formados pelas retas
e
.
Resposta
As bissetrizes das retas
e
são dadas pelas equações:
e
Além disso, os gráficos das retas
,
e suas bissetrizes podem ser esboçados no sistema de coordenadas para visualização completa.
Exercícios relacionados
[2 pontos] Considere todos os pontos
da curva do plano cuja a distância à reta
seja igual a distância de
a
. Assinale a alternativa que fornece a descrição e a equação cartesiana de todos os pontos desta curva.
Dica: a distância de um ponto à reta
é dada por
.
(A) Elipse;
(B) Parábola;
© Elipse;
(D) Parábola;
(E) Hipérbole;
(F) Parábola;
Dica: a distância de um ponto
(A) Elipse;
(B) Parábola;
© Elipse;
(D) Parábola;
(E) Hipérbole;
(F) Parábola;
(A)
©
(E)
(B)
(D)
(F)
Determine se os seguintes conjuntos são subespaços de
. Justifique sua resposta.
onde
Faça o esboço do gráfico e escreva a equação de cada uma das parábolas, sabendo que: O foco
e a diretriz