[2 pontos] Considere todos os pontos P=(x, y) da curva do plano cuja a distância à reta y=x+1 seja igual a distância de P a Q=(2,1). Assinale a alternativa que fornece a descrição e a equação cartesiana de todos os pontos desta curva.
Dica: a distância de um ponto Q=(x0, y0) à reta r: a x+b y+c=0 é dada por d(Q, r)=|a x0+b y0+c|raiza^2+b^2.
(A) Elipse; x^2+y^2+2 x y-10 x-2 y+9=0
(B) Parábola; x^2+y^2+2 x y-10 x-2 y-9=0
© Elipse; x^2+y^2+2 x y-10 x-2 y-9=0
(D) Parábola; x^2+y^2+2 x y-10 x-2 y+9=0
(E) Hipérbole; x^2+y^2+2 x y-10 x-2 y+9=0
(F) Parábola; x^2+y^2-2 x y-10 x-2 y+9=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar todos os pontos que estão na curva onde a distância de até a reta é igual à distância de até o ponto . Para isso, vamos usar conceitos de distância entre ponto e reta, além da distância entre dois pontos no plano cartesiano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância de um ponto até uma reta. A fórmula é:
d(P, r) = |a x0 + b y0 + c|raiza^2 + b^2
Onde y - x - 1 = 0 é a reta na forma e .
No nosso caso, a reta é . Vamos reescrever isso na forma geral da reta:
Então, , e .

Passo 3

Agora, a distância de d(P, r) = |-x + y - 1|raiz(-1)^2 + 1^2 = | -x + y - 1 |raiz2 até a reta fica:

Passo 4

A distância de d(P, Q) = raiz(x - 2)^2 + (y - 1)^2 até o ponto é dada pela fórmula da distância entre dois pontos:

Passo 5

Segundo o enunciado, essas duas distâncias são iguais. Então, temos:
| -x + y - 1 |raiz2 = raiz(x - 2)^2 + (y - 1)^2

Passo 6

Para simplificar, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
( -x + y - 1 raiz2 )^2 = ( raiz(x - 2)^2 + (y - 1)^2 )^2
Isso resulta em:
( -x + y - 1 )^22 = (x - 2)^2 + (y - 1)^2

Passo 7

Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:
( -x + y - 1 )^2 = 2 [ (x - 2)^2 + (y - 1)^2 ]
Agora, vamos expandir os termos:
x^2 - 2xy + 2x + y^2 - 2y + 1 = 2x^2 - 8x + 2y^2 - 4y + 10

Passo 8

Vamos trazer todos os termos para o lado esquerdo da equação:
x^2 - 2xy + 2x + y^2 - 2y + 1 - 2x^2 + 8x - 2y^2 + 4y - 10 = 0
Simplificando:
- x^2 - 2xy - y^2 + 10x + 2y - 9 = 0
Multiplicando todos os termos por -1 para facilitar:
x^2 + 2xy + y^2 - 10x - 2y + 9 = 0

Passo 9

Agora, identificamos o tipo de curva dessa equação. Observando os coeficientes de D = B^2 - 4AC = (2)^2 - 4(1)(1) = 4 - 4 = 0 , e , podemos calcular o discriminante :
Quando , a equação representa uma parábola.

Passo 10

Finalmente, com base nos cálculos, a equação cartesianas dos pontos x^2 + y^2 + 2xy - 10x - 2y + 9 = 0 é:

Resposta

A alternativa correta é a letra D) Parábola; .

Exercícios relacionados