[2 pontos] Considere todos os pontos da curva do plano cuja a distância à reta seja igual a distância de a . Assinale a alternativa que fornece a descrição e a equação cartesiana de todos os pontos desta curva.
Dica: a distância de um ponto à reta é dada por .
(A) Elipse;
(B) Parábola;
© Elipse;
(D) Parábola;
(E) Hipérbole;
(F) Parábola;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar todos os pontos que estão na curva onde a distância de até a reta é igual à distância de até o ponto . Para isso, vamos usar conceitos de distância entre ponto e reta, além da distância entre dois pontos no plano cartesiano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância de um ponto até uma reta. A fórmula é:
Onde é a reta na forma e .
No nosso caso, a reta é . Vamos reescrever isso na forma geral da reta:
Então, , e .

Passo 3

Agora, a distância de até a reta fica:

Passo 4

A distância de até o ponto é dada pela fórmula da distância entre dois pontos:

Passo 5

Segundo o enunciado, essas duas distâncias são iguais. Então, temos:

Passo 6

Para simplificar, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
Isso resulta em:

Passo 7

Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:
Agora, vamos expandir os termos:

Passo 8

Vamos trazer todos os termos para o lado esquerdo da equação:
Simplificando:
Multiplicando todos os termos por -1 para facilitar:

Passo 9

Agora, identificamos o tipo de curva dessa equação. Observando os coeficientes de , e , podemos calcular o discriminante :
Quando , a equação representa uma parábola.

Passo 10

Finalmente, com base nos cálculos, a equação cartesianas dos pontos é:

Resposta

A alternativa correta é a letra D) Parábola; .

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ponto] Assinale a alternativa que contém um vetor na mesma direção de de comprimento 6 .
(A)
©
(E)
(B)
(D)
(F)
Estude a posição relativa entre as seguintes retas. Caso sejam concorrentes, determine o ponto de interseção. Caso não sejam concorrentes ou coincidentes, calcule a distância. e
(a) [1,5 ponto] Determine as bissetrizes das retas e . Use um sistema de coordenadas e esboce os gráficos de todas as retas.
Determine se os seguintes conjuntos são subespaços de . Justifique sua resposta. onde