[2 pontos] Considere todos os pontos
da curva do plano cuja a distância à reta
seja igual a distância de
a
. Assinale a alternativa que fornece a descrição e a equação cartesiana de todos os pontos desta curva.
Dica: a distância de um ponto
à reta
é dada por
.
(A) Elipse;
(B) Parábola;
© Elipse;
(D) Parábola;
(E) Hipérbole;
(F) Parábola;
Dica: a distância de um ponto
(A) Elipse;
(B) Parábola;
© Elipse;
(D) Parábola;
(E) Hipérbole;
(F) Parábola;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar todos os pontos
que estão na curva onde a distância de
até a reta
é igual à distância de
até o ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de distância entre ponto e reta, além da distância entre dois pontos no plano cartesiano.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância de um ponto até uma reta. A fórmula é:
Onde
é a reta na forma
e
.
No nosso caso, a reta é
. Vamos reescrever isso na forma geral da reta:
Então,
,
e
.
Passo 3
Agora, a distância de
até a reta
fica:
Passo 4
A distância de
até o ponto
é dada pela fórmula da distância entre dois pontos:
Passo 5
Segundo o enunciado, essas duas distâncias são iguais. Então, temos:
Passo 6
Para simplificar, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
Isso resulta em:
Passo 7
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:
Agora, vamos expandir os termos:
Passo 8
Vamos trazer todos os termos para o lado esquerdo da equação:
Simplificando:
Multiplicando todos os termos por -1 para facilitar:
Passo 9
Agora, identificamos o tipo de curva dessa equação. Observando os coeficientes de
,
e
, podemos calcular o discriminante
:
Quando
, a equação representa uma parábola.
Passo 10
Finalmente, com base nos cálculos, a equação cartesianas dos pontos
é:
Resposta
A alternativa correta é a letra D) Parábola;
.
Exercícios relacionados
(A)
©
(E)
(B)
(D)
(F)
Estude a posição relativa entre as seguintes retas. Caso sejam concorrentes, determine o ponto de interseção. Caso não sejam concorrentes ou coincidentes, calcule a distância.
e
(a) [1,5 ponto] Determine as bissetrizes das retas
e
. Use um sistema de coordenadas e esboce os gráficos de todas as retas.
Determine se os seguintes conjuntos são subespaços de
. Justifique sua resposta.
onde