Faça o esboço do gráfico e escreva a equação de cada uma das parábolas, sabendo que: O foco
e a diretriz
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar o gráfico de uma parábola e escrever a equação dela. Para isso, sabemos que o foco é
e a diretriz é a reta
. Nosso conteúdo é sobre parábolas, que são curvas geométricas definidas por um ponto (o foco) e uma reta (a diretriz). Para resolver, vamos precisar usar a definição de parábola e algumas fórmulas básicas para encontrar a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a posição da diretriz. A equação
representa uma reta vertical passando pelo ponto
. Isso significa que a parábola vai abrir para a direita ou para a esquerda, já que a diretriz é vertical.
Passo 3
Sabemos que a distância do foco a qualquer ponto
na parábola é igual à distância desse ponto à diretriz. A distância do ponto
ao foco
é dada pela fórmula da distância entre dois pontos:
A distância do ponto
à diretriz
(ou seja,
) é a distância horizontal, que é:
Passo 4
Agora, igualamos essas duas distâncias conforme a definição da parábola:
Vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Passo 5
Expandindo os termos:
Simplificando, cancelamos
dos dois lados:
Passo 6
Vamos reunir os termos semelhantes:
Para simplificar, completamos o quadrado para os termos de
:
Passo 7
Isolando
:
Ou, de forma mais simplificada:
Essa é a equação da parábola com foco em
e diretriz
.
Resposta
A equação da parábola é
. O gráfico é uma parábola que abre para a direita, com o foco em
e a diretriz na reta
.
Exercícios relacionados
Determine se os seguintes conjuntos são subespaços de
. Justifique sua resposta.
onde
(a) [1,5 ponto] Determine as bissetrizes das retas
e
. Use um sistema de coordenadas e esboce os gráficos de todas as retas.
Identifique as quádricas representada por cada uma das equações a seguir. Construa o gráfico.
Calcule a distância entre os pontos:
e