Faça o esboço do gráfico e escreva a equação de cada uma das parábolas, sabendo que: O foco F=(1,1) e a diretriz d: x+2=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar o gráfico de uma parábola e escrever a equação dela. Para isso, sabemos que o foco é e a diretriz é a reta . Nosso conteúdo é sobre parábolas, que são curvas geométricas definidas por um ponto (o foco) e uma reta (a diretriz). Para resolver, vamos precisar usar a definição de parábola e algumas fórmulas básicas para encontrar a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a posição da diretriz. A equação representa uma reta vertical passando pelo ponto . Isso significa que a parábola vai abrir para a direita ou para a esquerda, já que a diretriz é vertical.

Passo 3

Sabemos que a distância do foco a qualquer ponto raiz(x - 1)^2 + (y - 1)^2 na parábola é igual à distância desse ponto à diretriz. A distância do ponto |x + 2| ao foco é dada pela fórmula da distância entre dois pontos:
A distância do ponto à diretriz (ou seja, ) é a distância horizontal, que é:

Passo 4

Agora, igualamos essas duas distâncias conforme a definição da parábola:
raiz(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = |x + 2|
Vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = (x + 2)^2

Passo 5

Expandindo os termos:
x^2 - 2x + 1 + y^2 - 2y + 1 = x^2 + 4x + 4
Simplificando, cancelamos -2x + 2 + y^2 - 2y = 4x + 4 dos dois lados:

Passo 6

Vamos reunir os termos semelhantes:
y^2 - 2y = 6x + 2
Para simplificar, completamos o quadrado para os termos de y^2 - 2y + 1 = 6x + 3 :
(y - 1)^2 = 6x + 3

Passo 7

Isolando 6x = (y - 1)^2 - 3 :
x = (y - 1)^26 - 12
x = (y - 1)^26 - 12
Ou, de forma mais simplificada:
Essa é a equação da parábola com foco em e diretriz .

Resposta

A equação da parábola é . O gráfico é uma parábola que abre para a direita, com o foco em e a diretriz na reta .

Exercícios relacionados