Determine se os seguintes conjuntos são subespaços de . Justifique sua resposta. onde

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se um certo conjunto de matrizes é um subespaço de , que nesse caso é o conjunto de todas as matrizes 2x2. O conteúdo que vamos precisar é de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver isso, vamos verificar se o conjunto satisfaz três condições básicas: contém a matriz zero, é fechado para adição e é fechado para multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o conjunto . Ele é definido como todas as matrizes 2x2 da forma:
Simplificando a condição, temos . Então, o conjunto consiste em todas as matrizes onde .

Passo 3

Agora, vamos verificar se a matriz zero pertence a . A matriz zero é:
Substituindo na condição :
Como a igualdade é verdadeira, a matriz zero está em .

Passo 4

Next, vamos ver se é fechado para adição. Ou seja, se pegarmos duas matrizes quaisquer em e somarmos, a matrizes resultante ainda deve estar em .
Sejam duas matrizes em :
Como elas estão em , temos:
Somando as duas matrizes:
Vamos verificar a condição para essa nova matriz:
Como e , temos:
Portanto, a matriz resultante também satisfaz a condição e está em .

Passo 5

Finalmente, vamos verificar se é fechado para multiplicação por escalar. Isso significa que se multiplicarmos uma matriz qualquer de por um número escalar, a matriz resultante ainda deve estar em .
Seja uma matriz em :
E um escalar . Multiplicando a matriz por :
Vamos verificar a condição:
Como , temos:
Logo, a matriz resultante também está em .

Resposta

Sim, o conjunto é um subespaço de porque contém a matriz zero, é fechado para adição e para multiplicação por escalar.

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(B) Parábola;
© Elipse;
(D) Parábola;
(E) Hipérbole;
(F) Parábola;
Faça o esboço do gráfico e escreva a equação de cada uma das parábolas, sabendo que: O foco e a diretriz
Identifique as quádricas representada por cada uma das equações a seguir. Construa o gráfico.