Determine se os seguintes conjuntos são subespaços de E. Justifique sua resposta. W=[lla & b c & d] in M(2): a+b+c+a=0 onde E=M(2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se um certo conjunto de matrizes é um subespaço de E, que nesse caso é o conjunto de todas as matrizes 2x2. O conteúdo que vamos precisar é de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver isso, vamos verificar se o conjunto W satisfaz três condições básicas: contém a matriz zero, é fechado para adição e é fechado para multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o conjunto W. Ele é definido como todas as matrizes 2x2 da forma:
W = a & b c & d in M(2) : a + b + c + a = 0
Simplificando a condição, temos a + b + c + a = 2a + b + c = 0. Então, o conjunto W consiste em todas as matrizes onde 2a + b + c = 0.

Passo 3

Agora, vamos verificar se a matriz zero pertence a W. A matriz zero é:
0 & 0 0 & 0
Substituindo na condição 2a + b + c = 0:
2(0) + 0 + 0 = 0
Como a igualdade é verdadeira, a matriz zero está em W.

Passo 4

Next, vamos ver se W é fechado para adição. Ou seja, se pegarmos duas matrizes quaisquer em W e somarmos, a matrizes resultante ainda deve estar em W.
Sejam duas matrizes em W:
a & b c & d e a' & b' c' & d'
Como elas estão em W, temos:
2a + b + c = 0 e 2a' + b' + c' = 0
Somando as duas matrizes:
a + a' & b + b' c + c' & d + d'
Vamos verificar a condição para essa nova matriz:
2(a + a') + (b + b') + (c + c') = 2a + 2a' + b + b' + c + c'
Como 2a + b + c = 0 e 2a' + b' + c' = 0, temos:
0 + 0 = 0
Portanto, a matriz resultante também satisfaz a condição e está em W.

Passo 5

Finalmente, vamos verificar se W é fechado para multiplicação por escalar. Isso significa que se multiplicarmos uma matriz qualquer de W por um número escalar, a matriz resultante ainda deve estar em W.
Seja uma matriz em W:
a & b c & d
E um escalar k. Multiplicando a matriz por k:
ka & kb kc & kd
Vamos verificar a condição:
2(ka) + (kb) + (kc) = k(2a + b + c)
Como 2a + b + c = 0, temos:
k cdot 0 = 0
Logo, a matriz resultante também está em W.

Resposta

Sim, o conjunto W é um subespaço de E porque contém a matriz zero, é fechado para adição e para multiplicação por escalar.

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