Determine se os seguintes conjuntos são subespaços de
. Justifique sua resposta.
onde
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se um certo conjunto de matrizes é um subespaço de
, que nesse caso é o conjunto de todas as matrizes 2x2. O conteúdo que vamos precisar é de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver isso, vamos verificar se o conjunto
satisfaz três condições básicas: contém a matriz zero, é fechado para adição e é fechado para multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o conjunto
. Ele é definido como todas as matrizes 2x2 da forma:
Simplificando a condição, temos
. Então, o conjunto
consiste em todas as matrizes onde
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a matriz zero pertence a
. A matriz zero é:
Substituindo na condição
:
Como a igualdade é verdadeira, a matriz zero está em
.
Passo 4
Next, vamos ver se
é fechado para adição. Ou seja, se pegarmos duas matrizes quaisquer em
e somarmos, a matrizes resultante ainda deve estar em
.
Sejam duas matrizes em
:
Como elas estão em
, temos:
Somando as duas matrizes:
Vamos verificar a condição para essa nova matriz:
Como
e
, temos:
Portanto, a matriz resultante também satisfaz a condição e está em
.
Passo 5
Finalmente, vamos verificar se
é fechado para multiplicação por escalar. Isso significa que se multiplicarmos uma matriz qualquer de
por um número escalar, a matriz resultante ainda deve estar em
.
Seja uma matriz em
:
E um escalar
. Multiplicando a matriz por
:
Vamos verificar a condição:
Como
, temos:
Logo, a matriz resultante também está em
.
Resposta
Sim, o conjunto
é um subespaço de
porque contém a matriz zero, é fechado para adição e para multiplicação por escalar.