[1 ponto] Determine as ordens de cada pólo e zero das das funções. JUSTIFIQUE AS AFIRMAÇÕES! 0.5 pontos (cos(z) - 1) / log(1 + z).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa determinar as ordens de cada pólo e zero da função . Isso significa que vamos identificar onde a função se anula (zeros) e onde ela pode ter valores infinitos (pólos), além de descobrir a “força” dessas anotações, ou seja, a ordem de cada zero e pólo. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre zeros, pólos e como calcular suas ordens em funções complexas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde a função pode ter zeros e pólos.
  • Zeros da função: São os valores de que fazem o numerador ser zero, ou seja, onde .
  • Pólos da função: São os valores de que fazem o denominador ser zero, ou seja, onde .
Vamos analisar cada um desses casos.

Passo 3

Encontrando os zeros:
Resolvendo :
Sabemos que quando , onde é um número inteiro. Mas vamos focar no ponto mais simples, que é .
Encontrando os pólos:
Resolvendo :
Portanto, tanto o numerador quanto o denominador se anulam em .

Passo 4

Agora, vamos analisar o comportamento da função perto de para determinar se há um zero, um pólo ou talvez nada de especial acontecendo ali (chamado de ponto removível).
Para isso, vamos expandir e em séries de Taylor em torno de :
Substituindo na função:

Passo 5

Simplificando a fração acima, vamos dividir numerador e denominador por :
Agora, observamos o comportamento quando se aproxima de 0:
Isso mostra que, próximo de , a função se comporta aproximadamente como , o que indica que a função tem um zero de ordem 1 em .

Passo 6

Além disso, não encontramos nenhum outro ponto onde o numerador ou denominador se anulam de forma significativa (exceto os múltiplos de para , mas geralmente consideramos como o ponto principal para essa análise).
Como não há outros pontos onde o denominador se anula sem que o numerador também se anule de forma a gerar um pólo, concluímos que a função não possui pólos.

Resposta

A função possui um zero de ordem 1 em e não possui pólos.

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