[1 ponto] Determine as ordens de cada pólo e zero das das funções. JUSTIFIQUE AS AFIRMAÇÕES!
pontos
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa determinar as ordens de cada pólo e zero da função
. Isso significa que vamos identificar onde a função se anula (zeros) e onde ela pode ter valores infinitos (pólos), além de descobrir a “força” dessas anotações, ou seja, a ordem de cada zero e pólo. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre zeros, pólos e como calcular suas ordens em funções complexas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde a função pode ter zeros e pólos.
-
Zeros da função: São os valores de
que fazem o numerador ser zero, ou seja, onde . -
Pólos da função: São os valores de
que fazem o denominador ser zero, ou seja, onde .
Vamos analisar cada um desses casos.
Passo 3
Encontrando os zeros:
Resolvendo
:
Sabemos que
quando
, onde
é um número inteiro. Mas vamos focar no ponto mais simples, que é
.
Encontrando os pólos:
Resolvendo
:
Portanto, tanto o numerador quanto o denominador se anulam em
.
Passo 4
Agora, vamos analisar o comportamento da função perto de
para determinar se há um zero, um pólo ou talvez nada de especial acontecendo ali (chamado de ponto removível).
Para isso, vamos expandir
e
em séries de Taylor em torno de
:
Substituindo na função:
Passo 5
Simplificando a fração acima, vamos dividir numerador e denominador por
:
Agora, observamos o comportamento quando
se aproxima de 0:
Isso mostra que, próximo de
, a função se comporta aproximadamente como
, o que indica que a função tem um zero de ordem 1 em
.
Passo 6
Além disso, não encontramos nenhum outro ponto onde o numerador ou denominador se anulam de forma significativa (exceto os múltiplos de
para
, mas geralmente consideramos
como o ponto principal para essa análise).
Como não há outros pontos onde o denominador se anula sem que o numerador também se anule de forma a gerar um pólo, concluímos que a função não possui pólos.
Resposta
A função
possui um zero de ordem 1 em
e não possui pólos.