[1,0 ponto ] Determine o valor do ângulo formado pelos vetores O M e O N.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar o valor do ângulo formado pelos vetores e . Para isso, vamos precisar usar conceitos de vetores e cálculo de ângulos entre vetores, mais especificamente o produto escalar.

Passo 2

Primeiro, precisamos saber as coordenadas de cada vetor. Suponha que:
O M = (x1, y1)
O N = (x2, y2)
Essas coordenadas nos dizem a direção e o tamanho de cada vetor no plano.

Passo 3

O próximo passo é calcular o produto escalar (também conhecido como produto interno) dos dois vetores. A fórmula para o produto escalar é:
O M cdot O N = x1 cdot x2 + y1 cdot y2
Esse resultado nos ajuda a relacionar os vetores com o ângulo entre eles.

Passo 4

Agora, vamos calcular a magnitude (ou comprimento) de cada vetor. A fórmula para a magnitude de um vetor |O M| = raizx1^2 + y1^2 é:
|O N| = raizx2^2 + y2^2
E para :
Esses valores nos dão o tamanho de cada vetor.

Passo 5

Com o produto escalar e as magnitudes calculadas, podemos encontrar o cosseno do ângulo entre os vetores usando a seguinte fórmula:
cos(theta) = O M cdot O N|O M| cdot |O N|
Isso nos permite isolar o ângulo .

Passo 6

Finalmente, para achar o ângulo theta = arccos( O M cdot O N|O M| cdot |O N| ) , usamos a função arccos (ou inversa do cosseno):
Isso nos dará o valor do ângulo entre os dois vetores.

Resposta

O ângulo formado pelos vetores theta = arccos( x1 x2 + y1 y2raizx1^2 + y1^2 cdot raizx2^2 + y2^2 ) e é:

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