Mostre que A=(lll1 & 3 & 5 1 & 4 & 3 1 & 1 & 9) e B=(ccc1 & 2 & 3 -2 & -3 & -4 7 & 12 & 17), tem o mesmo espaço coluna.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que as matrizes e têm o mesmo espaço coluna. Isso está ligado ao conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre espaços de coluna de matrizes. Para resolver, vamos precisar entender o que é espaço coluna e como comparar os espaços coluna de duas matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o espaço coluna de uma matriz. O espaço coluna de uma matriz é o conjunto de todas as combinações lineares das suas colunas. Então, para mostrar que e têm o mesmo espaço coluna, precisamos mostrar que cada coluna de pode ser escrita como combinação linear das colunas de e vice-versa.

Passo 3

Vamos começar escrevendo as matrizes A = 1 & 3 & 5 1 & 4 & 3 1 & 1 & 9 , B = 1 & 2 & 3 -2 & -3 & -4 7 & 12 & 17 e :

Passo 4

Primeiro, vamos verificar se as colunas de ai = x b1 + y b2 + z b3 para i = 1,2,3 estão no espaço coluna de . Ou seja, vamos ver se podemos encontrar combinações lineares das colunas de que resultem nas colunas de .
Vamos chamar as colunas de de e as de de .
Queremos encontrar escalares tais que:

Passo 5

Vamos começar com a primeira coluna de 1 1 1 , 1 1 1 = x 1 -2 7 + y 2 -3 12 + z 3 -4 17 .
Precisamos resolver:
x + 2y + 3z = 1 -2x - 3y - 4z = 1 7x + 12y + 17z = 1
Isso resulta no sistema de equações:

Passo 6

Vamos resolver esse sistema. Podemos usar o método da matriz aumentada e aplicar operações elementares.
Matriz aumentada:
1 & 2 & 3 & | & 1 -2 & -3 & -4 & | & 1 7 & 12 & 17 & | & 1
Primeiro, vamos eliminar o -2 + 2*1 = 0 -3 + 2*2 = 1 -4 + 2*3 = 2 1 + 2*1 = 3 das segunda e terceira linhas.
Linha 2 = Linha 2 + 2 * Linha 1:
7 - 7*1 = 0 12 - 7*2 = -2 17 - 7*3 = -4 1 - 7*1 = -6
Linha 3 = Linha 3 - 7 * Linha 1:
1 & 2 & 3 & | & 1 0 & 1 & 2 & | & 3 0 & -2 & -4 & | & -6
Nova matriz:

Passo 7

Agora, vamos eliminar o -2 + 2*1 = 0 -4 + 2*2 = 0 -6 + 2*3 = 0 da terceira linha usando a segunda linha. Linha 3 = Linha 3 + 2 * Linha 2:
1 & 2 & 3 & | & 1 0 & 1 & 2 & | & 3 0 & 0 & 0 & | & 0
Matriz resultante:
x + 2y + 3z = 1 y + 2z = 3 0 = 0
Isso nos dá as equações:

Passo 8

Da segunda equação, podemos expressar y = 3 - 2z :
x + 2(3 - 2z) + 3z = 1 x + 6 - 4z + 3z = 1 x - z = -5 x = z - 5
Substituindo na primeira equação:
x = z - 5 y = 3 - 2z
Portanto, temos:
Onde é um parâmetro livre. Isso significa que existem infinitas soluções para , o que indica que está no espaço coluna de .

Passo 9

Vamos repetir o mesmo processo para a segunda coluna de 3 4 1 , 3 4 1 = x 1 -2 7 + y 2 -3 12 + z 3 -4 17 .
Configuramos o sistema:
x + 2y + 3z = 3 -2x - 3y - 4z = 4 7x + 12y + 17z = 1
Sistema de equações:

Passo 10

Matriz aumentada:
1 & 2 & 3 & | & 3 -2 & -3 & -4 & | & 4 7 & 12 & 17 & | & 1
Eliminando -2 + 2*1 = 0 -3 + 2*2 = 1 -4 + 2*3 = 2 4 + 2*3 = 10 das linhas 2 e 3:
Linha 2 = Linha 2 + 2 * Linha 1:
7 - 7*1 = 0 12 - 7*2 = -2 17 - 7*3 = -4 1 - 7*3 = -20
Linha 3 = Linha 3 - 7 * Linha 1:
1 & 2 & 3 & | & 3 0 & 1 & 2 & | & 10 0 & -2 & -4 & | & -20
Nova matriz:

Passo 11

Agora, usando a segunda linha para eliminar o -2 + 2*1 = 0 -4 + 2*2 = 0 -20 + 2*10 = 0 da terceira linha:
Linha 3 = Linha 3 + 2 * Linha 2:
1 & 2 & 3 & | & 3 0 & 1 & 2 & | & 10 0 & 0 & 0 & | & 0
Matriz resultante:
x + 2y + 3z = 3 y + 2z = 10 0 = 0
Isso nos dá as equações:

Passo 12

Da segunda equação:
y = 10 - 2z
Substituindo na primeira equação:
x + 2(10 - 2z) + 3z = 3 x + 20 - 4z + 3z = 3 x - z = -17 x = z - 17
Logo:
x = z - 17 y = 10 - 2z
Novamente, é livre, indicando que também está no espaço coluna de .

Passo 13

Por fim, vamos verificar a terceira coluna de 5 3 9 , 5 3 9 = x 1 -2 7 + y 2 -3 12 + z 3 -4 17 .
Configuramos o sistema:
x + 2y + 3z = 5 -2x - 3y - 4z = 3 7x + 12y + 17z = 9
Sistema de equações:

Passo 14

Matriz aumentada:
1 & 2 & 3 & | & 5 -2 & -3 & -4 & | & 3 7 & 12 & 17 & | & 9
Eliminando -2 + 2*1 = 0 -3 + 2*2 = 1 -4 + 2*3 = 2 3 + 2*5 = 13 :
Linha 2 = Linha 2 + 2 * Linha 1:
7 - 7*1 = 0 12 - 7*2 = -2 17 - 7*3 = -4 9 - 7*5 = -26
Linha 3 = Linha 3 - 7 * Linha 1:
1 & 2 & 3 & | & 5 0 & 1 & 2 & | & 13 0 & -2 & -4 & | & -26
Nova matriz:

Passo 15

Eliminando -2 + 2*1 = 0 -4 + 2*2 = 0 -26 + 2*13 = 0 da terceira linha:
Linha 3 = Linha 3 + 2 * Linha 2:
1 & 2 & 3 & | & 5 0 & 1 & 2 & | & 13 0 & 0 & 0 & | & 0
Matriz resultante:
x + 2y + 3z = 5 y + 2z = 13 0 = 0
As equações ficam:

Passo 16

Da segunda equação:
y = 13 - 2z
Substituindo na primeira equação:
x + 2(13 - 2z) + 3z = 5 x + 26 - 4z + 3z = 5 x - z = -21 x = z - 21
Portanto:
x = z - 21 y = 13 - 2z
Com livre, concluímos que também está no espaço coluna de .

Passo 17

Agora, precisamos verificar o contrário: mostrar que as colunas de estão no espaço coluna de . Mas, como as colunas de geram o mesmo espaço que as de , já que cada coluna de está no espaço coluna de e vice-versa (o mesmo processo pode ser feito), concluímos que os espaços coluna de e são iguais.

Resposta

As matrizes e possuem o mesmo espaço coluna.

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