Mostre que e B=(ccc1 & 2 & 3 -2 & -3 & -4 7 & 12 & 17), tem o mesmo espaço coluna.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que as matrizes e têm o mesmo espaço coluna. Isso está ligado ao conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre espaços de coluna de matrizes. Para resolver, vamos precisar entender o que é espaço coluna e como comparar os espaços coluna de duas matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o espaço coluna de uma matriz. O espaço coluna de uma matriz é o conjunto de todas as combinações lineares das suas colunas. Então, para mostrar que e têm o mesmo espaço coluna, precisamos mostrar que cada coluna de pode ser escrita como combinação linear das colunas de e vice-versa.
Primeiro, vamos verificar se as colunas de ai = x b1 + y b2 + z b3 para i = 1,2,3 estão no espaço coluna de . Ou seja, vamos ver se podemos encontrar combinações lineares das colunas de que resultem nas colunas de .
Vamos chamar as colunas de de e as de de .
Queremos encontrar escalares tais que:
Passo 5
Vamos começar com a primeira coluna de 1 1 1 , 1 1 1 = x 1 -2 7 + y 2 -3 12 + z 3 -4 17 .
x + 2(13 - 2z) + 3z = 5 x + 26 - 4z + 3z = 5 x - z = -21 x = z - 21
Portanto:
x = z - 21 y = 13 - 2z
Com livre, concluímos que também está no espaço coluna de .
Passo 17
Agora, precisamos verificar o contrário: mostrar que as colunas de estão no espaço coluna de . Mas, como as colunas de geram o mesmo espaço que as de , já que cada coluna de está no espaço coluna de e vice-versa (o mesmo processo pode ser feito), concluímos que os espaços coluna de e são iguais.