Mostre que e , tem o mesmo espaço coluna.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que as matrizes e têm o mesmo espaço coluna. Isso está ligado ao conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre espaços de coluna de matrizes. Para resolver, vamos precisar entender o que é espaço coluna e como comparar os espaços coluna de duas matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o espaço coluna de uma matriz. O espaço coluna de uma matriz é o conjunto de todas as combinações lineares das suas colunas. Então, para mostrar que e têm o mesmo espaço coluna, precisamos mostrar que cada coluna de pode ser escrita como combinação linear das colunas de e vice-versa.

Passo 3

Vamos começar escrevendo as matrizes e :

Passo 4

Primeiro, vamos verificar se as colunas de estão no espaço coluna de . Ou seja, vamos ver se podemos encontrar combinações lineares das colunas de que resultem nas colunas de .
Vamos chamar as colunas de de e as de de .
Queremos encontrar escalares tais que:

Passo 5

Vamos começar com a primeira coluna de , .
Precisamos resolver:
Isso resulta no sistema de equações:

Passo 6

Vamos resolver esse sistema. Podemos usar o método da matriz aumentada e aplicar operações elementares.
Matriz aumentada:
Primeiro, vamos eliminar o das segunda e terceira linhas.
Linha 2 = Linha 2 + 2 * Linha 1:
Linha 3 = Linha 3 - 7 * Linha 1:
Nova matriz:

Passo 7

Agora, vamos eliminar o da terceira linha usando a segunda linha. Linha 3 = Linha 3 + 2 * Linha 2:
Matriz resultante:
Isso nos dá as equações:

Passo 8

Da segunda equação, podemos expressar :
Substituindo na primeira equação:
Portanto, temos:
Onde é um parâmetro livre. Isso significa que existem infinitas soluções para , o que indica que está no espaço coluna de .

Passo 9

Vamos repetir o mesmo processo para a segunda coluna de , .
Configuramos o sistema:
Sistema de equações:

Passo 10

Matriz aumentada:
Eliminando das linhas 2 e 3:
Linha 2 = Linha 2 + 2 * Linha 1:
Linha 3 = Linha 3 - 7 * Linha 1:
Nova matriz:

Passo 11

Agora, usando a segunda linha para eliminar o da terceira linha:
Linha 3 = Linha 3 + 2 * Linha 2:
Matriz resultante:
Isso nos dá as equações:

Passo 12

Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Logo:
Novamente, é livre, indicando que também está no espaço coluna de .

Passo 13

Por fim, vamos verificar a terceira coluna de , .
Configuramos o sistema:
Sistema de equações:

Passo 14

Matriz aumentada:
Eliminando :
Linha 2 = Linha 2 + 2 * Linha 1:
Linha 3 = Linha 3 - 7 * Linha 1:
Nova matriz:

Passo 15

Eliminando da terceira linha:
Linha 3 = Linha 3 + 2 * Linha 2:
Matriz resultante:
As equações ficam:

Passo 16

Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Portanto:
Com livre, concluímos que também está no espaço coluna de .

Passo 17

Agora, precisamos verificar o contrário: mostrar que as colunas de estão no espaço coluna de . Mas, como as colunas de geram o mesmo espaço que as de , já que cada coluna de está no espaço coluna de e vice-versa (o mesmo processo pode ser feito), concluímos que os espaços coluna de e são iguais.

Resposta

As matrizes e possuem o mesmo espaço coluna.

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