Determine x e y de modo que se tenha:
[ll y^3 & 3 x y^2 & 4 x ]+[ll -y & x^2 2 y & x^2 ]+[rr -1 & 1 2 & 2 ]=[rr 5 & 1 10 & -1 ]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de matrizes juntos! O que a gente precisa fazer é encontrar os valores de e que satisfazem a igualdade entre a soma de três matrizes e a matriz dada no final. A matéria que estamos usando aqui envolve operações com matrizes, como soma e igualdades elemento a elemento. Vamos precisar entender como somar matrizes e igualar cada posição para achar e .

Passo 2

Primeiro, vamos somar as três matrizes do lado esquerdo. Lembra que pra somar matrizes, a gente soma elemento a elemento. Então, vamos fazer isso para cada posição:
[ll y^3 & 3 x y^2 & 4 x ] + [ll -y & x^2 2 y & x^2 ] + [rr -1 & 1 2 & 2 ] = [rr 5 & 1 10 & -1 ]
Vamos somar cada posição:
  • Primeira linha, primeira coluna:
    y^3 + (-y) + (-1) = y^3 - y - 1
  • Primeira linha, segunda coluna:
    3x + x^2 + 1 = x^2 + 3x + 1
  • Segunda linha, primeira coluna:
    y^2 + 2y + 2
  • Segunda linha, segunda coluna:
    4x + x^2 + 2 = x^2 + 4x + 2

Passo 3

Agora, igualamos cada uma dessas somas com os elementos correspondentes da matriz do lado direito:
  1. Primeira linha, primeira coluna:
    y^3 - y - 1 = 5
  2. Primeira linha, segunda coluna:
    x^2 + 3x + 1 = 1
  3. Segunda linha, primeira coluna:
    y^2 + 2y + 2 = 10
  4. Segunda linha, segunda coluna:
    x^2 + 4x + 2 = -1

Passo 4

Vamos resolver essas equações uma por uma começando pelas que envolvem x^2 + 3x + 1 = 1 , pois parecem mais simples.
Equação 2:
x^2 + 3x = 0
Subtraindo 1 de ambos os lados:
x(x + 3) = 0
Fatorando:
x = 0 ou x = -3
Então, as soluções são:
x^2 + 4x + 2 = -1
Equação 4:
x^2 + 4x + 3 = 0
Adicionando 1 a ambos os lados:
(x + 1)(x + 3) = 0
Fatorando:
x = -1 ou x = -3
Então, as soluções são:
Observamos que é a única solução que aparece em ambas as equações, então vamos considerar .

Passo 5

Com y^3 - y - 1 = 5 , vamos substituir esse valor nas equações que envolvem y^3 - y - 6 = 0 :
Equação 1:
y^2 + 2y + 2 = 10
Subtraindo 5 de ambos os lados:
y^2 + 2y - 8 = 0
Equação 3:
y = -2 pm raiz4 + 322 = -2 pm raiz362 = -2 pm 62
Subtraindo 10 de ambos os lados:
y = 2 ou y = -4
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então:

Passo 6

Agora, vamos verificar qual desses valores de 2^3 - 2 - 6 = 8 - 2 - 6 = 0 satisfaz a Equação 1:
  • Para (-4)^3 - (-4) - 6 = -64 + 4 - 6 = -66 neq 0 :
    Isso satisfaz a equação .
  • Para :
    Não satisfaz.
Portanto, a única solução válida é .

Resposta

Os valores que satisfazem a equação são e .

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