Determine e de modo que se tenha:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de matrizes juntos! O que a gente precisa fazer é encontrar os valores de e que satisfazem a igualdade entre a soma de três matrizes e a matriz dada no final. A matéria que estamos usando aqui envolve operações com matrizes, como soma e igualdades elemento a elemento. Vamos precisar entender como somar matrizes e igualar cada posição para achar e .

Passo 2

Primeiro, vamos somar as três matrizes do lado esquerdo. Lembra que pra somar matrizes, a gente soma elemento a elemento. Então, vamos fazer isso para cada posição:
Vamos somar cada posição:
  • Primeira linha, primeira coluna:
  • Primeira linha, segunda coluna:
  • Segunda linha, primeira coluna:
  • Segunda linha, segunda coluna:

Passo 3

Agora, igualamos cada uma dessas somas com os elementos correspondentes da matriz do lado direito:
  1. Primeira linha, primeira coluna:
  2. Primeira linha, segunda coluna:
  3. Segunda linha, primeira coluna:
  4. Segunda linha, segunda coluna:

Passo 4

Vamos resolver essas equações uma por uma começando pelas que envolvem , pois parecem mais simples.
Equação 2:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Fatorando:
Então, as soluções são:
Equação 4:
Adicionando 1 a ambos os lados:
Fatorando:
Então, as soluções são:
Observamos que é a única solução que aparece em ambas as equações, então vamos considerar .

Passo 5

Com , vamos substituir esse valor nas equações que envolvem :
Equação 1:
Subtraindo 5 de ambos os lados:
Equação 3:
Subtraindo 10 de ambos os lados:
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então:

Passo 6

Agora, vamos verificar qual desses valores de satisfaz a Equação 1:
  • Para :
    Isso satisfaz a equação .
  • Para :
    Não satisfaz.
Portanto, a única solução válida é .

Resposta

Os valores que satisfazem a equação são e .

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