1. [1,5 ponto] Encontre os vértice e os focos da elipse 16 x^2+3 y^2=48 e esboce o seu gráfico.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar os vértices e os focos da elipse dada pela equação . Para isso, vamos usar conhecimentos de Geometria Analítica sobre elipses, especificamente a forma padrão da equação de uma elipse e as fórmulas para determinar seus vértices e focos.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar a equação da elipse para a sua forma padrão. A forma geral de uma elipse é:
x^2a^2 + y^2b^2 = 1
onde e são os semi-eixos maior e menor, respectivamente.

Passo 3

Para colocar a equação 16 x^248 + 3 y^248 = 4848 na forma padrão, dividimos todos os termos por 48:
x^23 + y^216 = 1
Simplificando, temos:
Aqui, identificamos que e , portanto e .

Passo 4

Como (0, a) = (0, 4) e (0, -a) = (0, -4) , o eixo maior da elipse está no eixo . Os vértices estão localizados a uma distância do centro ao longo do eixo maior. Como a elipse está centrada na origem, os vértices são:

Passo 5

Para encontrar os focos, usamos a fórmula:
c = raiza^2 - b^2 = raiz16 - 3 = raiz13 approx 3.606
Os focos estão localizados a uma distância (0, c) approx (0, 3.606) e (0, -c) approx (0, -3.606) do centro ao longo do eixo maior (eixo ):

Resposta

Os vértices da elipse são os pontos e , e os focos são aproximadamente e . O gráfico da elipse possui seu eixo maior ao longo do eixo com os vértices e focos conforme encontrados.

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