[1,5 ponto] Encontre os vértice e os focos da elipse e esboce o seu gráfico.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar os vértices e os focos da elipse dada pela equação . Para isso, vamos usar conhecimentos de Geometria Analítica sobre elipses, especificamente a forma padrão da equação de uma elipse e as fórmulas para determinar seus vértices e focos.
Passo 2
Primeiro, vamos transformar a equação da elipse para a sua forma padrão. A forma geral de uma elipse é:
onde e são os semi-eixos maior e menor, respectivamente.
Passo 3
Para colocar a equação na forma padrão, dividimos todos os termos por 48:
Simplificando, temos:
Aqui, identificamos que e , portanto e .
Passo 4
Como , o eixo maior da elipse está no eixo . Os vértices estão localizados a uma distância do centro ao longo do eixo maior. Como a elipse está centrada na origem, os vértices são:
Passo 5
Para encontrar os focos, usamos a fórmula:
Os focos estão localizados a uma distância do centro ao longo do eixo maior (eixo ):
Resposta
Os vértices da elipse são os pontos e , e os focos são aproximadamente e . O gráfico da elipse possui seu eixo maior ao longo do eixo com os vértices e focos conforme encontrados.