13a
Determine: (a) A matriz de mudança da base para a base .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema que a gente tem aqui é sobre mudança de base em álgebra linear. Temos duas bases no espaço tridimensional :
A gente precisa encontrar a matriz de mudança de base que transforma coordenadas da base para a base . Para isso, vamos seguir alguns passos bem simples!
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma matriz de mudança de base. Basicamente, vai nos ajudar a converter as coordenadas de um vetor que está na base para a base . Ou seja, se temos um vetor representado na base , ao multiplicá-lo por , vamos ter sua representação na base .
Passo 3
Para encontrar a matriz , precisamos expressar cada vetor da base em termos da base . Isso significa que para cada vetor em , vamos encontrar escalares tais que:
Onde são os vetores da base .
Passo 4
Vamos começar com o primeiro vetor de , que é . Queremos encontrar tais que:
Isso dá o seguinte sistema de equações:
Resolvendo esse sistema, encontramos . Vamos fazer o mesmo para os outros vetores de .
Passo 5
Vamos resolver o sistema para 1 = a + b Rightarrow a = 1 - b 0 = 2a + 3b + c 1 = 2b + 3c :
0 = 2(1 - b) + 3b + c Rightarrow 2 - 2b + 3b + c = 0 Rightarrow b + c = -2
Substituindo b + c = -2 2b + 3c = 1 na segunda equação:
2b + 2c = -4
Agora temos:
(2b + 3c) - (2b + 2c) = 1 - (-4) Rightarrow c = 5
Multiplicando a primeira equação por 2:
Subtraindo da segunda equação:
Então, e .
Assim, .
Passo 6
Agora, vamos repetir o processo para o segundo vetor de (2,1,1) = a cdot (1,2,0) + b cdot (1,3,2) + c cdot (0,1,3) , que é 2 = a + b 1 = 2a + 3b + c 1 = 0a + 2b + 3c :
Isso resulta no sistema:
Resolvendo esse sistema, encontramos .
Passo 7
Resolvendo o sistema para 2 = a + b Rightarrow a = 2 - b 1 = 2(2 - b) + 3b + c Rightarrow 4 - 2b + 3b + c = 1 Rightarrow b + c = -3 1 = 2b + 3c :
2b + 2c = -6
Multiplicando a segunda equação por 2:
(2b + 3c) - (2b + 2c) = 1 - (-6) Rightarrow c = 7
Subtraindo da terceira equação:
Então, e .
Assim, .
Passo 8
Por fim, vamos fazer o mesmo para o terceiro vetor de (3,1,-1) = a cdot (1,2,0) + b cdot (1,3,2) + c cdot (0,1,3) , que é 3 = a + b 1 = 2a + 3b + c -1 = 0a + 2b + 3c :
O sistema fica:
Vamos resolver esse sistema para encontrar .
Passo 9
Resolvendo o sistema para 3 = a + b Rightarrow a = 3 - b 1 = 2(3 - b) + 3b + c Rightarrow 6 - 2b + 3b + c = 1 Rightarrow b + c = -5 -1 = 2b + 3c :
Agora que temos os coeficientes para todos os vetores de P = 8 & 12 & 17 -7 & -10 & -14 5 & 7 & 9 em termos de , podemos construir a matriz de mudança de base . Cada coluna de será formada pelos coeficientes encontrados para cada vetor de .
Resposta
A matriz de mudança de base P = 8 & 12 & 17 -7 & -10 & -14 5 & 7 & 9 de para é: