13a
Determine: (a) A matriz de mudança da base para a base .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema que a gente tem aqui é sobre mudança de base em álgebra linear. Temos duas bases no espaço tridimensional :
A gente precisa encontrar a matriz de mudança de base que transforma coordenadas da base para a base . Para isso, vamos seguir alguns passos bem simples!
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma matriz de mudança de base. Basicamente, vai nos ajudar a converter as coordenadas de um vetor que está na base para a base . Ou seja, se temos um vetor representado na base , ao multiplicá-lo por , vamos ter sua representação na base .
Passo 3
Para encontrar a matriz , precisamos expressar cada vetor da base em termos da base . Isso significa que para cada vetor em , vamos encontrar escalares tais que:
Onde são os vetores da base .
Passo 4
Vamos começar com o primeiro vetor de , que é . Queremos encontrar tais que:
Isso dá o seguinte sistema de equações:
Resolvendo esse sistema, encontramos . Vamos fazer o mesmo para os outros vetores de .
Passo 5
Vamos resolver o sistema para :
Substituindo na segunda equação:
Agora temos:
Multiplicando a primeira equação por 2:
Subtraindo da segunda equação:
Então, e .
Assim, .
Passo 6
Agora, vamos repetir o processo para o segundo vetor de , que é :
Isso resulta no sistema:
Resolvendo esse sistema, encontramos .
Passo 7
Resolvendo o sistema para :
Multiplicando a segunda equação por 2:
Subtraindo da terceira equação:
Então, e .
Assim, .
Passo 8
Por fim, vamos fazer o mesmo para o terceiro vetor de , que é :
O sistema fica:
Vamos resolver esse sistema para encontrar .
Passo 9
Resolvendo o sistema para :
Multiplicando a segunda equação por 2:
Subtraindo da terceira equação:
Então, e .
Assim, .
Passo 10
Agora que temos os coeficientes para todos os vetores de em termos de , podemos construir a matriz de mudança de base . Cada coluna de será formada pelos coeficientes encontrados para cada vetor de .