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Dados os vetores u=(-2,3,1) e v=(2,-1,4), determine um vetor que:
(a) Seja ortogonal a u e v, e unitário.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos dois vetores, u=(-2,3,1) e v=(2,-1,4), e precisamos encontrar um vetor que seja ortogonal a ambos e que seja unitário. Isso significa que o vetor que procuramos deve formar um ângulo de 90 graus com u e v, e deve ter comprimento (ou magnitude) igual a 1. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente o produto vetorial e a normalização de vetores.

Passo 2

Para encontrar um vetor que seja ortogonal a u e v, podemos utilizar o produto vetorial entre esses dois vetores. O produto vetorial de dois vetores resulta em um novo vetor que é perpendicular a ambos os vetores originais.
A fórmula do produto vetorial u times v é dada por:
u times v = ( uy vz - uz vy, uz vx - ux vz, ux vy - uy vx )
Vamos calcular cada componente:
ux = -2, uy = 3, uz = 1
vx = 2, vy = -1, vz = 4
Calculando:
x = (3)(4) - (1)(-1) = 12 + 1 = 13
y = (1)(2) - (-2)(4) = 2 + 8 = 10
z = (-2)(-1) - (3)(2) = 2 - 6 = -4
Então, o produto vetorial é:
u times v = (13, 10, -4)

Passo 3

Agora que temos o vetor (13, 10, -4) que é ortogonal a u e v, precisamos transformá-lo em um vetor unitário, ou seja, com magnitude igual a 1. Para isso, vamos calcular a magnitude do vetor e depois dividir cada componente por essa magnitude.
A magnitude de um vetor w = (wx, wy, wz) é dada por:
|w| = raizwx^2 + wy^2 + wz^2
Aplicando isso ao nosso vetor:
|u times v| = raiz13^2 + 10^2 + (-4)^2 = raiz169 + 100 + 16 = raiz285
Para simplificar, podemos deixar a raiz como está ou calcular seu valor aproximado. Vamos deixar a raiz para manter a precisão.

Passo 4

Finalmente, para obter o vetor unitário, dividimos cada componente do vetor (13, 10, -4) pela sua magnitude raiz285. Assim:
w = ( 13raiz285, 10raiz285, -4raiz285 )
Esse é o vetor que é ortogonal a u e v e que tem magnitude igual a 1.

Resposta

Um vetor unitário ortogonal a u e v é:
w = ( 13raiz285, 10raiz285, -4raiz285 )

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