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Dados os vetores
e
, determine um vetor que:
(a) Seja ortogonal a
e
, e unitário.
Dados os vetores
(a) Seja ortogonal a
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos dois vetores,
e
, e precisamos encontrar um vetor que seja ortogonal a ambos e que seja unitário. Isso significa que o vetor que procuramos deve formar um ângulo de 90 graus com
e
, e deve ter comprimento (ou magnitude) igual a 1. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente o produto vetorial e a normalização de vetores.
Passo 2
Para encontrar um vetor que seja ortogonal a
e
, podemos utilizar o produto vetorial entre esses dois vetores. O produto vetorial de dois vetores resulta em um novo vetor que é perpendicular a ambos os vetores originais.
A fórmula do produto vetorial
é dada por:
Vamos calcular cada componente:
Calculando:
Então, o produto vetorial é:
Passo 3
Agora que temos o vetor
que é ortogonal a
e
, precisamos transformá-lo em um vetor unitário, ou seja, com magnitude igual a 1. Para isso, vamos calcular a magnitude do vetor e depois dividir cada componente por essa magnitude.
A magnitude de um vetor
é dada por:
Aplicando isso ao nosso vetor:
Para simplificar, podemos deixar a raiz como está ou calcular seu valor aproximado. Vamos deixar a raiz para manter a precisão.
Passo 4
Finalmente, para obter o vetor unitário, dividimos cada componente do vetor
pela sua magnitude
. Assim:
Esse é o vetor que é ortogonal a
e
e que tem magnitude igual a 1.
Resposta
Um vetor unitário ortogonal a
e
é:
Exercícios relacionados
Suponha que os vetores
e
são L.I. no espaço. Determine se cada uma das seguintes afirmações é falsa ou verdadeira.
(a) e
são L.I. no espaço.
(a)
Determine se os vetores do seguinte conjunto são LI ou LD
Em seguida, determine a forma parametrica dos vetores do espaço gerado.
Encontre uma parametrização para o espaço gerado pelo seguinte conjunto de vetores
- [1,5 ponto] Encontre os vértice e os focos da elipse
e esboce o seu gráfico.