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Dados os vetores e , determine um vetor que:
(a) Seja ortogonal a e , e unitário.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos dois vetores, e , e precisamos encontrar um vetor que seja ortogonal a ambos e que seja unitário. Isso significa que o vetor que procuramos deve formar um ângulo de 90 graus com e , e deve ter comprimento (ou magnitude) igual a 1. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente o produto vetorial e a normalização de vetores.

Passo 2

Para encontrar um vetor que seja ortogonal a e , podemos utilizar o produto vetorial entre esses dois vetores. O produto vetorial de dois vetores resulta em um novo vetor que é perpendicular a ambos os vetores originais.
A fórmula do produto vetorial é dada por:
Vamos calcular cada componente:
Calculando:
Então, o produto vetorial é:

Passo 3

Agora que temos o vetor que é ortogonal a e , precisamos transformá-lo em um vetor unitário, ou seja, com magnitude igual a 1. Para isso, vamos calcular a magnitude do vetor e depois dividir cada componente por essa magnitude.
A magnitude de um vetor é dada por:
Aplicando isso ao nosso vetor:
Para simplificar, podemos deixar a raiz como está ou calcular seu valor aproximado. Vamos deixar a raiz para manter a precisão.

Passo 4

Finalmente, para obter o vetor unitário, dividimos cada componente do vetor pela sua magnitude . Assim:
Esse é o vetor que é ortogonal a e e que tem magnitude igual a 1.

Resposta

Um vetor unitário ortogonal a e é:

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