Encontre uma parametrização para o espaço gerado pelo seguinte conjunto de vetores
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer encontrar uma parametrização para o espaço gerado pelo conjunto de vetores . Isso significa que vamos descobrir como combinar esses vetores para formar todos os vetores possíveis nesse espaço. Para isso, vamos precisar usar conceitos de combinação linear e sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o espaço gerado por esses vetores. Ele é formado por todas as combinações lineares possíveis desses vetores. Ou seja, qualquer vetor nesse espaço pode ser escrito como uma soma ponderada desses vetores. Matemáticamente, isso fica assim:
onde , e são números reais (escalar).
Passo 3
Agora, vamos expandir a combinação linear para ver como cada componente do vetor resultante fica:
Isso nos dá um sistema de equações que relaciona as componentes de com os parâmetros , e .
Passo 4
Para encontrar uma parametrização mais simples, podemos verificar se alguma dessas equações pode ser expressa em termos das outras, ou seja, se há alguma dependência linear entre os vetores. Isso ajuda a reduzir o número de parâmetros necessários.
Passo 5
Vamos montar uma matriz com os vetores como colunas e realizar a eliminação de Gauss para determinar a independência linear:
Aplicando operações de linha para simplificar:
Trocar R1 por R1/2:
Adicionar R1 à R2, subtrair 3R1 de R3 e subtrair 5R1 de R4:
Multiplicar R2 por -0.4 para simplificar:
Eliminar as outras entradas na segunda coluna:
Subtrair 2.5*R2 de R3:
Adicionar 0.5*R2 a R4:
Passo 6
Observamos que há duas linhas não nulas, o que significa que temos duas vetores independentes. Portanto, a dimensão do espaço gerado é 2, e podemos expressar os vetores em termos de duas variáveis livres.
Passo 7
Vamos escolher e como parâmetros livres. A partir da matriz reduzida, temos:
Da primeira linha:
Da segunda linha:
Da segunda equação, temos . Substituindo na primeira:
Passo 8
Agora, podemos expressar os vetores em termos de e uma variável livre, digamos . Então:
E como o espaço é de dimensão 2, introduzimos outra variável livre, digamos , para representar a segunda direção independente.
Passo 9
Finalmente, a parametrização do espaço gerado pelos vetores é dada por:
onde e são números reais.
Resposta
A parametrização do espaço gerado pelos vetores é: