Determine se o subespaço das matrizes que comutam com a matriz é um espaço vetorial. (Dica : duas matrizes e comutam se )
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Aqui, temos que analisar um conjunto especial de matrizes 3x3, chamadas de , e queremos saber se o conjunto dessas matrizes que “comutam” com uma matriz específica é um espaço vetorial.
Matéria envolvida: Álgebra Linear, especificamente conceitos de espaços vetoriais e comutatividade de matrizes.
O que vamos precisar: Entender o que significa duas matrizes comutarem, conhecer os critérios para um conjunto ser um espaço vetorial, e aplicar essas ideias para verificar se o conjunto dado satisfaz todas as propriedades necessárias.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa duas matrizes comutarem. Duas matrizes e comutam se o produto delas na ordem for igual ao produto na ordem inversa . Em termos matemáticos:
Então, nosso conjunto consiste em todas as matrizes que satisfazem essa condição com a matriz dada.
Passo 3
Agora, precisamos lembrar quais são as propriedades que um conjunto precisa ter para ser considerado um espaço vetorial. Um espaço vetorial deve satisfazer oito axiomas, mas para simplificar, vamos focar em algumas propriedades essenciais:
Fechamento sob adição: Se e estão no conjunto, então também está.
Fechamento sob multiplicação por escalar: Se está no conjunto e é um escalar, então também está.
Existência do vetor zero: A matriz zero deve estar no conjunto.
Vamos verificar se nosso conjunto satisfaz essas propriedades.
Passo 4
Fechamento sob adição:
Se e comutam com , então precisamos ver se também comuta com .
Vamos calcular:
Então, comuta com .
Fechamento sob multiplicação por escalar:
Se comuta com , então para qualquer escalar :
Portanto, comuta com .
Existência do vetor zero:
A matriz zero, , satisfaz:
Então, a matriz zero está no conjunto.
Passo 5
Como vimos, o conjunto de matrizes que comutam com satisfaz as três propriedades essenciais que discutimos: fechamento sob adição, fechamento sob multiplicação por escalar e contém a matriz zero. Além disso, essas propriedades garantem que todas as outras propriedades dos espaços vetoriais também são satisfeitas, já que são derivadas dessas.
Resposta
Sim, o subespaço das matrizes que comutam com a matriz é um espaço vetorial.