[1 ponto ] A esfera que passa por (4,3,-1) e tem centro em (3,8,1) também passa pelo ponto:
(A) (1,1,-1+raiz28)
© (3,8,-1+raiz30)
(E) (1,8,-1+raiz26)
(B) (1,1,1+raiz28)
(D) (3,8,-1-raiz30)
(F) (1,8,-1-raiz26)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta fala sobre uma esfera que tem centro nas coordenadas (3,8,1) e passa pelo ponto (4,3,-1). Nosso objetivo é descobrir qual dos pontos apresentados também está nessa esfera. Para isso, vamos lembrar que a equação de uma esfera é dada por:
(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2
onde (a,b,c) é o centro da esfera e r é o raio. Vamos precisar calcular o raio da esfera e depois verificar qual dos pontos fornecidos está na esfera.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o raio da esfera. Sabemos que o ponto (4,3,-1) está na esfera, então podemos usar a fórmula da distância entre dois pontos para calcular o raio.
A distância entre o centro (3,8,1) e o ponto (4,3,-1) é:
r = raiz(4-3)^2 + (3-8)^2 + (-1-1)^2
r = raiz1^2 + (-5)^2 + (-2)^2
r = raiz1 + 25 + 4
r = raiz30
Então, o raio da esfera é raiz30.

Passo 3

Agora que temos o raio, podemos escrever a equação da esfera:
(x - 3)^2 + (y - 8)^2 + (z - 1)^2 = 30
Para verificar qual dos pontos fornecidos também está na esfera, vamos substituir as coordenadas de cada ponto na equação da esfera e ver se a igualdade é verdadeira.

Passo 4

Vamos testar as opções uma a uma:
Opção A: (1,1,-1+raiz28)
Substituindo na equação:
(1-3)^2 + (1-8)^2 + [(-1+raiz28) -1]^2 = 4 + 49 + (-2+raiz28)^2
= 4 + 49 + (4 - 4raiz28 + 28)
= 81 - 4raiz28 neq 30
Não satisfaz a equação.
Opção B: (1,1,1+raiz28)
Substituindo na equação:
(1-3)^2 + (1-8)^2 + [(1+raiz28) -1]^2 = 4 + 49 + (raiz28)^2
= 4 + 49 + 28
= 81 neq 30
Não satisfaz a equação.
Opção C: (3,8,-1+raiz30)
Substituindo na equação:
(3-3)^2 + (8-8)^2 + [(-1+raiz30) -1]^2 = 0 + 0 + (-2+raiz30)^2
= 4 - 4raiz30 + 30
= 34 - 4raiz30
Não é igual a 30, então não satisfaz a equação. Entretanto, parece haver um erro nesse cálculo. Vamos verificar novamente.
Correção da Opção C:
Na verdade, ao expandir (-2 + raiz30)^2:
(-2 + raiz30)^2 = 4 - 4raiz30 + 30 = 34 - 4raiz30
Isso não é igual a 30, então a opção C também não satisfaz a equação.
Opção D: (3,8,-1-raiz30)
Substituindo na equação:
(3-3)^2 + (8-8)^2 + [(-1-raiz30) -1]^2 = 0 + 0 + (-2-raiz30)^2
= 4 + 4raiz30 + 30
= 34 + 4raiz30 neq 30
Não satisfaz a equação.
Opção E: (1,8,-1+raiz26)
Substituindo na equação:
(1-3)^2 + (8-8)^2 + [(-1+raiz26) -1]^2 = 4 + 0 + (-2+raiz26)^2
= 4 + (4 - 4raiz26 + 26)
= 34 - 4raiz26 neq 30
Não satisfaz a equação.
Opção F: (1,8,-1-raiz26)
Substituindo na equação:
(1-3)^2 + (8-8)^2 + [(-1-raiz26) -1]^2 = 4 + 0 + (-2-raiz26)^2
= 4 + (4 + 4raiz26 + 26)
= 34 + 4raiz26 neq 30
Não satisfaz a equação.

Resposta

Nenhuma das opções fornecidas está na esfera descrita.

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