Identi que e faça um estudo da interseção das Quádricas com os planos coordenados x=0, y=0 e z=0.
$ ii)-x^{2}$
ii) -x^2
4+y^2
16-z^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente vai identificar e estudar como uma quádricas (que são superfícies do espaço definidas por equações de segundo grau) se intersecta com os planos coordenados: , e . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre quádricas e como substituir os valores das coordenadas para encontrar as interseções.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a equação da quádricas que a gente tem. Parece que está escrita de uma forma peculiar, então vou reorganizar ela para facilitar:
-x^24 + y^24 + z^216 = 9
Isso representa uma quádricas, especificamente um hiperbolóide de duas folhas devido aos sinais diferentes nos termos.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a interseção dessa quádricas com o plano - 0^24 + y^24 + z^216 = 9 . Para isso, substituímos y^24 + z^216 = 9 por 0 na equação:
Simplificando:

Passo 4

Essa última equação representa uma elipse no plano y^26^2 + z^212^2 = 1 . A elipse tem semi-eixos de comprimento 6 em e 12 em , já que:

Passo 5

Agora, vamos para o plano - x^24 + 0^24 + z^216 = 9 . Substituindo - x^24 + z^216 = 9 por 0 na equação original:
Simplificando:

Passo 6

Multiplicando todos os termos por 16 para eliminar as frações:
-4x^2 + z^2 = 144
Rearranjando:
z^2 = 4x^2 + 144
Isso representa um paraboloide no plano .

Passo 7

Por fim, vamos ver a interseção com o plano - x^24 + y^24 + 0^216 = 9 . Substituindo - x^24 + y^24 = 9 por 0 na equação original:
- x^2 + y^2 = 36
Simplificando:
Multiplicando por 4:
Isso é uma hipérbole no plano .

Resposta

As interseções da quádricas com os planos coordenados são:
  • Com : uma elipse com semi-eixos de 6 em e 12 em .
  • Com : um paraboloide definido por .
  • Com : uma hipérbole definida por .

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