[1,5 ponto] Dê exemplo de duas retas reversas r e s que distam 5 .
(Atenção: para justificar a resposta é preciso fazer contas comprovando que são reversas e calcular a distância entre elas, explique também o racíocinio usado para chegar nos exemplos).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente dar um exemplo de duas retas “reversas” que estão a uma distância de 5 unidades uma da outra. Primeiro, vamos entender o que são retas reversas. Retas reversas são aquelas que não estão no mesmo plano e não se cruzam, ou seja, elas não são paralelas nem se encontram em nenhum ponto. Para resolver isso, vamos precisar trabalhar com retas no espaço tridimensional e usar a fórmula de distância entre duas retas reversas.

Passo 2

Vamos começar escolhendo duas retas no espaço que sejam reversas. Uma forma fácil de fazer isso é definir uma reta que passa pelo ponto r: x = t y = 0 z = 0 com direção no eixo s: x = 0 y = 1 + u z = 0 e outra reta que passa pelo ponto com direção no eixo . Assim, as equações das retas ficam:
Aqui, e são parâmetros que variam ao longo das retas.

Passo 3

Agora, vamos confirmar que essas retas são realmente reversas. Para isso, precisamos verificar se elas não são paralelas e não se interceptam.
  • Não paralelas: As direções das retas e são, respectivamente, e . Como essas direções não são múltiplos umas das outras, as retas não são paralelas.
  • Não se interceptam: Se tentarmos igualar as coordenadas das retas para encontrar um ponto de interseção, vemos que não há solução comum para e que satisfaça ambas as equações simultaneamente. Portanto, as retas não se cruzam.
Assim, as retas e são reversas.

Passo 4

Agora, vamos calcular a distância entre essas duas retas. A fórmula para a distância d = |AB cdot (dr times ds)||dr times ds| entre duas retas reversas e é dada por:
Onde:
  • é o vetor que vai de um ponto em a um ponto em .
  • e são os vetores de direção das retas e .
  • representa o produto vetorial.
  • representa o produto escalar.
Vamos calcular passo a passo.

Passo 5

Primeiro, escolhemos pontos nas retas AB = B - A = (0 - 0, 1 - 0, 0 - 0) = (0, 1, 0) e dr times ds = i & j & k 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 = (0 cdot 0 - 0 cdot 1)i - (1 cdot 0 - 0 cdot 0)j + (1 cdot 1 - 0 cdot 0)k = (0)i - (0)j + (1)k = (0, 0, 1) . Vamos pegar em e em . Então, o vetor é:
Agora, calculamos o produto vetorial :

Passo 6

Agora, vamos calcular o produto escalar AB cdot (dr times ds) = (0, 1, 0) cdot (0, 0, 1) = 0 times 0 + 1 times 0 + 0 times 1 = 0 :
|AB cdot (dr times ds)| = |0| = 0
Mas o módulo desse produto é o valor absoluto:

Passo 7

Agora, calculamos o módulo do produto vetorial |dr times ds| = raiz0^2 + 0^2 + 1^2 = raiz1 = 1 :

Passo 8

Finalmente, aplicamos a fórmula da distância:
d = 01 = 0
Hmm, parece que a distância deu zero, o que significa que as retas se interceptam, o que contradiz nossa afirmação inicial de que elas são reversas. Isso indica que talvez tenha havido um erro na escolha das retas.

Passo 9

Vamos corrigir isso escolhendo retas que realmente não se interceptem. Vamos definir:
r: x = t y = 0 z = 0
s: x = 0 y = 1 z = t
Agora, dr times ds = i & j & k 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 = (0 cdot 1 - 0 cdot 0)i - (1 cdot 1 - 0 cdot 0)j + (1 cdot 0 - 0 cdot 0)k = (0)i - (1)j + (0)k = (0, -1, 0) e AB cdot (dr times ds) = (0, 1, 0) cdot (0, -1, 0) = 0 times 0 + 1 times (-1) + 0 times 0 = -1 . Escolhemos |AB cdot (dr times ds)| = |-1| = 1 em |dr times ds| = raiz0^2 + (-1)^2 + 0^2 = raiz1 = 1 e d = 11 = 1 em , então .
Calculando :
Produto escalar:
Módulo:
Módulo do produto vetorial:
Distância:
Ainda não chegamos a 5, então precisamos ajustar as retas para que a distância seja 5.

Passo 10

Para aumentar a distância, vamos deslocar a reta r: x = t y = 0 z = 0 no eixo s: x = 0 y = 5 z = t . Vamos definir:
AB cdot (dr times ds) = (0, 5, 0) cdot (0, -1, 0) = 0 times 0 + 5 times (-1) + 0 times 0 = -5
|AB cdot (dr times ds)| = |-5| = 5
Agora, |dr times ds| = 1 .
Calculando o produto escalar:
d = 51 = 5
Módulo:
Módulo do produto vetorial continua sendo 1:
Então, a distância:

Resposta

Duas retas reversas que estão a uma distância de 5 unidades são:
r: x = t y = 0 z = 0
s: x = 0 y = 5 z = t
Essas retas não são paralelas nem se interceptam e a distância entre elas é 5 unidades, conforme calculado.

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