Resolva os sistemas lineares A x=b abaixo usando eliminação de GaussJordan: (b) x1-2 x2+x3 & =0 2 x2-8 x3 & =8 -4 x1+5 x2+9 x3 & =-9

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares usando a eliminação de Gauss-Jordan. O sistema que temos é:
x1 - 2x2 + x3 = 0 2x2 - 8x3 = 8 -4x1 + 5x2 + 9x3 = -9
Para resolver isso, vamos transformar o sistema em uma matriz aumentada e aplicar operações para chegar à forma reduzida, onde conseguimos encontrar os valores de , e .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema como uma matriz aumentada. Isso significa que colocamos os coeficientes das variáveis em uma matriz e adicionamos a coluna dos resultados:
1 & -2 & 1 & | & 0 0 & 2 & -8 & | & 8 -4 & 5 & 9 & | & -9

Passo 3

Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma escalonada reduzida, onde teremos 1s na diagonal principal e 0s abaixo e acima deles. Vamos começar fazendo o primeiro pivô. O pivô é o número na posição que queremos transformar em 1.
O primeiro pivô já está bom, é 1 na posição . Agora, vamos eliminar o elemento abaixo desse pivô na mesma coluna.

Passo 4

Para eliminar o Linha 3 = Linha 3 + 4 times Linha 1 na posição -4 + 4(1) = 0 5 + 4(-2) = 5 - 8 = -3 9 + 4(1) = 13 -9 + 4(0) = -9 , vamos usar a primeira linha. Multiplicamos a primeira linha por 4 e somamos com a terceira linha:
1 & -2 & 1 & | & 0 0 & 2 & -8 & | & 8 0 & -3 & 13 & | & -9
Calculando:
Então, a matriz fica:

Passo 5

Agora, vamos para o segundo pivô, que está na posição Linha 2 = 12 times Linha 2 e é igual a 2. Queremos transformá-lo em 1. Para isso, dividimos a segunda linha por 2:
0 div 2 = 0 2 div 2 = 1 -8 div 2 = -4 8 div 2 = 4
Calculando:
1 & -2 & 1 & | & 0 0 & 1 & -4 & | & 4 0 & -3 & 13 & | & -9
A matriz fica:

Passo 6

Vamos eliminar os elementos acima e abaixo do segundo pivô (que agora é 1 na posição Linha 1 = Linha 1 + 2 times Linha 2 ).
Primeiro, eliminamos o 1 + 2(0) = 1 -2 + 2(1) = 0 1 + 2(-4) = 1 - 8 = -7 0 + 2(4) = 8 na posição 1 & 0 & -7 & | & 8 0 & 1 & -4 & | & 4 0 & -3 & 13 & | & -9 . Para isso, usamos a segunda linha:
Calculando:
A matriz fica:

Passo 7

Agora, vamos eliminar o Linha 3 = Linha 3 + 3 times Linha 2 na posição 0 + 3(0) = 0 -3 + 3(1) = 0 13 + 3(-4) = 13 - 12 = 1 -9 + 3(4) = -9 + 12 = 3 usando a segunda linha:
1 & 0 & -7 & | & 8 0 & 1 & -4 & | & 4 0 & 0 & 1 & | & 3
Calculando:
A matriz agora fica:

Passo 8

Por último, vamos tratar do terceiro pivô, que já está em 1 na posição Linha 1 = Linha 1 + 7 times Linha 3 . Agora, eliminamos os elementos acima desse pivô.
Primeiro, vamos eliminar o 1 + 7(0) = 1 0 + 7(0) = 0 -7 + 7(1) = 0 8 + 7(3) = 8 + 21 = 29 na posição Linha 2 = Linha 2 + 4 times Linha 3 :
0 + 4(0) = 0 1 + 4(0) = 1 -4 + 4(1) = 0 4 + 4(3) = 4 + 12 = 16
Calculando:
1 & 0 & 0 & | & 29 0 & 1 & 0 & | & 16 0 & 0 & 1 & | & 3
Em seguida, eliminamos o na posição :
Calculando:
A matriz final fica:

Resposta

A solução do sistema é , e .

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