Resolva os sistemas lineares A x=b abaixo usando eliminação de GaussJordan: (g) l2 x1+x2=1 3 x1+2 x2+x3=-1 5 x1+3 x2+x3=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um sistema de equações lineares com três incógnitas: , e . A matéria que vamos usar é a Eliminação de Gauss-Jordan, que é uma técnica para resolver sistemas lineares transformando as equações em uma forma mais simples. Para isso, vamos montar a matriz aumentada do sistema e aplicar operações para chegar à solução.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada. Isso facilita as operações de eliminação. Nosso sistema é:
2x1 + x2 = 1 3x1 + 2x2 + x3 = -1 5x1 + 3x2 + x3 = 1
A matriz aumentada fica assim:
2 & 1 & 0 & | & 1 3 & 2 & 1 & | & -1 5 & 3 & 1 & | & 1

Passo 3

Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma escalonada reduzida, onde teremos 1s na diagonal principal e 0s abaixo e acima deles. Vamos começar tornando o primeiro elemento da primeira linha igual a 1. Para isso, dividimos a primeira linha por 2:
1 & 12 & 0 & | & 12 3 & 2 & 1 & | & -1 5 & 3 & 1 & | & 1

Passo 4

Agora, vamos eliminar o R2 = R2 - 3R1 Rightarrow 3 - 3(1) = 0, 2 - 3(12) = 12, 1 - 3(0) = 1, -1 - 3(12) = -52 das linhas abaixo. Subtraímos 3 vezes a primeira linha da segunda linha e 5 vezes a primeira linha da terceira linha:
Para a segunda linha:
R3 = R3 - 5R1 Rightarrow 5 - 5(1) = 0, 3 - 5(12) = 12, 1 - 5(0) = 1, 1 - 5(12) = -32
Para a terceira linha:
1 & 12 & 0 & | & 12 0 & 12 & 1 & | & -52 0 & 12 & 1 & | & -32
A matriz fica:

Passo 5

Agora, vamos focar na segunda coluna da segunda linha e torná-la igual a 1. Para isso, multiplicamos a segunda linha por 2:
1 & 12 & 0 & | & 12 0 & 1 & 2 & | & -5 0 & 12 & 1 & | & -32

Passo 6

Em seguida, vamos eliminar o R1 = R1 - 12R2 Rightarrow 1 - 12(0) = 1, 12 - 12(1) = 0, 0 - 12(2) = -1, 12 - 12(-5) = 3 das outras linhas. Subtraímos R3 = R3 - 12R2 Rightarrow 0 - 12(0) = 0, 12 - 12(1) = 0, 1 - 12(2) = 0, -32 - 12(-5) = 1 da segunda linha da primeira linha e 1 & 0 & -1 & | & 3 0 & 1 & 2 & | & -5 0 & 0 & 0 & | & 1 da segunda linha da terceira linha:
Para a primeira linha:
Para a terceira linha:
A matriz atualizada é:

Passo 7

Observamos agora que a última linha da matriz nos dá a equação , que é impossível, ou seja, . Isso significa que o sistema não tem solução.

Resposta

O sistema não tem solução; não existe nenhum conjunto de valores para , e que satisfaça todas as equações simultaneamente.

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