[2,5 pontos] Dê uma equação geral do plano que passa pelos pontos e e que dista 1 da reta

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação geral de um plano que passa pelos pontos e , e que está a uma distância de 1 unidade de uma reta dada pela equação . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores diretores, equação de planos e distância ponto-reta.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que o problema está pedindo. Temos dois pontos e pelos quais o plano passa, e uma reta da qual o plano está a uma distância de 1 unidade. Nosso objetivo é encontrar uma equação que descreva esse plano.

Passo 3

Vamos começar encontrando um vetor diretor da reta . A equação nos mostra que o vetor diretor é .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar dois vetores que estejam no plano. Um deles é o vetor que liga os pontos e . Calculando:
O outro vetor que está no plano é o vetor diretor da reta , que é .

Passo 5

Com esses dois vetores no plano, podemos encontrar o vetor normal ao plano usando o produto vetorial:
Ops, o vetor normal resultou em zero, o que significa que os vetores e são colineares. Isso indica que precisamos de uma abordagem diferente.

Passo 6

Como os vetores são colineares, o plano que passa por e contém a reta , mas queremos um plano que está a uma distância de 1 da reta . Isso significa que nosso plano será paralelo à reta e estará a 1 unidade de distância dela.

Passo 7

Para encontrar um plano paralelo à reta , precisamos que o vetor normal do plano seja perpendicular ao vetor diretor da reta. Como o vetor diretor de é , o vetor normal do plano deve satisfazer .

Passo 8

Vamos assumir que o vetor normal . A condição nos dá:
Então, podemos escrever .

Passo 9

Agora, usamos os pontos e para encontrar a equação do plano. A equação geral do plano é:
Usando o ponto , temos:

Passo 10

Precisamos agora garantir que a distância do plano à reta seja 1. A fórmula da distância entre um ponto e um plano é:
Como a reta é infinita, precisamos garantir que todos os pontos dela estejam a 1 unidade de distância do plano. Porém, isso só é possível se o plano for paralelo à reta, o que já garantimos ao termos .

Passo 11

Vamos calcular a distância usando um ponto da reta , por exemplo, o ponto . Substituindo na fórmula:
Isso implica que:

Passo 12

Voltando à equação do plano:
A forma geral da equação é:
Então, .

Passo 13

Substituindo na equação :
Elevando ao quadrado ambos os lados:

Passo 14

Resolvendo a equação quadrática , podemos dividir por (assumindo ):
Chamando , temos:
Resolvendo essa equação quadrática:

Passo 15

Escolhemos um dos valores de , por exemplo, . Então, .
Podemos escolher para simplificar:

Passo 16

Agora, substituímos e na equação do plano:
Expandindo:

Resposta

A equação geral do plano é:

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(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)