[2,5 pontos] Dê uma equação geral do plano que passa pelos pontos P=(2,2,0) e Q=(2,1,-1) e que dista 1 da reta
r: X=(0,1,1)+lambda(0,1,1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação geral de um plano que passa pelos pontos e , e que está a uma distância de 1 unidade de uma reta dada pela equação . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores diretores, equação de planos e distância ponto-reta.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que o problema está pedindo. Temos dois pontos e pelos quais o plano passa, e uma reta da qual o plano está a uma distância de 1 unidade. Nosso objetivo é encontrar uma equação que descreva esse plano.

Passo 3

Vamos começar encontrando um vetor diretor da reta . A equação nos mostra que o vetor diretor é .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar dois vetores que estejam no plano. Um deles é o vetor PQ = Q - P = (2 - 2, 1 - 2, -1 - 0) = (0, -1, -1) que liga os pontos e . Calculando:
O outro vetor que está no plano é o vetor diretor da reta , que é .

Passo 5

Com esses dois vetores no plano, podemos encontrar o vetor normal n = PQ times d = i & j & k 0 & -1 & -1 0 & 1 & 1 = i( (-1)(1) - (-1)(1) ) - j(0 cdot 1 - (-1) cdot 0) + k(0 cdot 1 - (-1) cdot 0) = (0, 0, 0) ao plano usando o produto vetorial:
Ops, o vetor normal resultou em zero, o que significa que os vetores e são colineares. Isso indica que precisamos de uma abordagem diferente.

Passo 6

Como os vetores são colineares, o plano que passa por e contém a reta , mas queremos um plano que está a uma distância de 1 da reta . Isso significa que nosso plano será paralelo à reta e estará a 1 unidade de distância dela.

Passo 7

Para encontrar um plano paralelo à reta , precisamos que o vetor normal do plano seja perpendicular ao vetor diretor da reta. Como o vetor diretor de é , o vetor normal do plano deve satisfazer .

Passo 8

Vamos assumir que o vetor normal 0a + 1b + 1c = 0 implies b + c = 0 implies c = -b . A condição nos dá:
Então, podemos escrever .

Passo 9

Agora, usamos os pontos a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0 e a(x - 2) + b(y - 2) - b(z - 0) = 0 implies a(x - 2) + b(y - 2 - z) = 0 para encontrar a equação do plano. A equação geral do plano é:
Usando o ponto , temos:

Passo 10

Precisamos agora garantir que a distância do plano à reta d = |n cdot X + D||n| seja 1. A fórmula da distância entre um ponto e um plano é:
Como a reta é infinita, precisamos garantir que todos os pontos dela estejam a 1 unidade de distância do plano. Porém, isso só é possível se o plano for paralelo à reta, o que já garantimos ao termos .

Passo 11

Vamos calcular a distância usando um ponto da reta 1 = |a(0) + b(1) - b(1) + D|raiza^2 + b^2 + b^2 implies 1 = |D|raiza^2 + 2b^2 , por exemplo, o ponto |D| = raiza^2 + 2b^2 . Substituindo na fórmula:
Isso implica que:

Passo 12

Voltando à equação do plano:
a(x - 2) + b(y - 2 - z) = 0 implies ax + b y - b z = 2a + 2b
A forma geral da equação é:
a x + b y - b z - (2a + 2b) = 0
Então, .

Passo 13

Substituindo |2a + 2b| = raiza^2 + 2b^2 na equação (2a + 2b)^2 = a^2 + 2b^2 implies 4a^2 + 8ab + 4b^2 = a^2 + 2b^2 implies 3a^2 + 8ab + 2b^2 = 0 :
Elevando ao quadrado ambos os lados:

Passo 14

Resolvendo a equação quadrática 3(ab)^2 + 8(ab) + 2 = 0 , podemos dividir por 3k^2 + 8k + 2 = 0 (assumindo k = -8 pm raiz64 - 246 = -8 pm raiz406 = -8 pm 2raiz106 = -4 pm raiz103 ):
Chamando , temos:
Resolvendo essa equação quadrática:

Passo 15

Escolhemos um dos valores de a = -4 + raiz10 , por exemplo, . Então, .
Podemos escolher para simplificar:

Passo 16

Agora, substituímos (-4 + raiz10)(x - 2) + 3(y - 2 - z) = 0 e (-4 + raiz10)x + 3y - 3z = 2(-4 + raiz10) + 6 na equação do plano:
(-4 + raiz10)x + 3y - 3z = -8 + 2raiz10 + 6
Expandindo:
(-4 + raiz10)x + 3y - 3z = -2 + 2raiz10

Resposta

A equação geral do plano é:
(-4 + raiz10),x + 3,y - 3,z + 2 - 2raiz10 = 0

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