[2,5 pontos] Dê uma equação geral do plano que passa pelos pontos e e que dista 1 da reta
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação geral de um plano que passa pelos pontos e , e que está a uma distância de 1 unidade de uma reta dada pela equação . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores diretores, equação de planos e distância ponto-reta.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que o problema está pedindo. Temos dois pontos e pelos quais o plano passa, e uma reta da qual o plano está a uma distância de 1 unidade. Nosso objetivo é encontrar uma equação que descreva esse plano.
Passo 3
Vamos começar encontrando um vetor diretor da reta . A equação nos mostra que o vetor diretor é .
Passo 4
Agora, precisamos encontrar dois vetores que estejam no plano. Um deles é o vetor que liga os pontos e . Calculando:
O outro vetor que está no plano é o vetor diretor da reta , que é .
Passo 5
Com esses dois vetores no plano, podemos encontrar o vetor normal ao plano usando o produto vetorial:
Ops, o vetor normal resultou em zero, o que significa que os vetores e são colineares. Isso indica que precisamos de uma abordagem diferente.
Passo 6
Como os vetores são colineares, o plano que passa por e contém a reta , mas queremos um plano que está a uma distância de 1 da reta . Isso significa que nosso plano será paralelo à reta e estará a 1 unidade de distância dela.
Passo 7
Para encontrar um plano paralelo à reta , precisamos que o vetor normal do plano seja perpendicular ao vetor diretor da reta. Como o vetor diretor de é , o vetor normal do plano deve satisfazer .
Passo 8
Vamos assumir que o vetor normal . A condição nos dá:
Então, podemos escrever .
Passo 9
Agora, usamos os pontos e para encontrar a equação do plano. A equação geral do plano é:
Usando o ponto , temos:
Passo 10
Precisamos agora garantir que a distância do plano à reta seja 1. A fórmula da distância entre um ponto e um plano é:
Como a reta é infinita, precisamos garantir que todos os pontos dela estejam a 1 unidade de distância do plano. Porém, isso só é possível se o plano for paralelo à reta, o que já garantimos ao termos .
Passo 11
Vamos calcular a distância usando um ponto da reta , por exemplo, o ponto . Substituindo na fórmula:
Isso implica que:
Passo 12
Voltando à equação do plano:
A forma geral da equação é:
Então, .
Passo 13
Substituindo na equação :
Elevando ao quadrado ambos os lados:
Passo 14
Resolvendo a equação quadrática , podemos dividir por (assumindo ):
Chamando , temos:
Resolvendo essa equação quadrática:
Passo 15
Escolhemos um dos valores de , por exemplo, . Então, .